---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2026-03
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2026-03
source: Matura próbna luty 2026
category: Potęgi i pierwiastki
points: 1
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2026-03

**Źródło:** Matura próbna luty 2026
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 1
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dane są liczby \(a=|1+\sqrt{2}|\) oraz \(b=|1-\sqrt{2}|\). Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Liczba \(a+b\) jest liczbą całkowitą. P F Liczba \(a\cdot b\) jest liczbą całkowitą. P F

**Prawidłowa odpowiedź:** FP

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oblicza się wartości \(a\) i \(b\), a następnie sprawdza podane zdania.

## Krok 1: Obliczenie wartości \(a\)

$$a = |1 + \sqrt{2}|$$

Ponieważ \(\sqrt{2} \approx 1{,}414 > 0\), to \(1 + \sqrt{2} > 0\).

Zatem:
$$a = 1 + \sqrt{2}$$

## Krok 2: Obliczenie wartości \(b\)

$$b = |1 - \sqrt{2}|$$

Ponieważ \(\sqrt{2} \approx 1{,}414 > 1\), to \(1 - \sqrt{2} < 0\).

Zatem:
$$b = -(1 - \sqrt{2}) = -1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$$

## Krok 3: Sprawdzenie czy \(a + b\) jest liczbą całkowitą

$$a + b = (1 + \sqrt{2}) + (\sqrt{2} - 1)$$

$$a + b = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} - 1 = 2\sqrt{2}$$

Ponieważ \(2\sqrt{2} = 2 \cdot 1{,}414... \approx 2{,}828...\) jest liczbą niewymierną, **nie jest** liczbą całkowitą.

**Zdanie 1: FAŁSZ (F)**

## Krok 4: Sprawdzenie czy \(a \cdot b\) jest liczbą całkowitą

$$a \cdot b = (1 + \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{2} - 1)$$

Widać, że to wzór na różnicę kwadratów: \((p + q)(p - q) = p^2 - q^2\)

Przyjmuje się \(p = \sqrt{2}\) i \(q = 1\):

$$a \cdot b = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$$

Liczba 1 **jest** liczbą całkowitą.

**Zdanie 2: PRAWDA (P)**

---

**Odpowiedź: F, P**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2026