---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2014-34
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2014-34
source: Matura próbna luty 2014
category: Liczby rzeczywiste
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2014-34

**Źródło:** Matura próbna luty 2014
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykwalifikowany robotnik pracując sam, wykonałby pracę w czasie krótszym o \(10\) dni od pracownika niewykwalifikowanego. Aby pracę wykonać szybciej, powierzono ją obu robotnikom, którzy pracując razem, wykonali ją w ciągu \(12\) dni. W ciągu ilu dni wykonałby pracę każdy robotnik pracując samodzielnie?

**Prawidłowa odpowiedź:** \(20\) dni oraz \(30\) dni

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Oznaczmy czas pracy niewykwalifikowanego robotnika przez \(x\) dni.

## Krok 1: Ustalenie czasów pracy

Skoro wykwalifikowany robotnik pracuje o 10 dni krócej:
- niewykwalifikowany robotnik wykonałby pracę w \(x\) dni
- wykwalifikowany robotnik wykonałby pracę w \(x - 10\) dni

## Krok 2: Wydajność robotników

Jeśli całą pracę oznaczymy jako 1, to:
- wydajność niewykwalifikowanego: \(\frac{1}{x}\) pracy dziennie
- wydajność wykwalifikowanego: \(\frac{1}{x-10}\) pracy dziennie

## Krok 3: Praca wspólna

Pracując razem przez 12 dni, wykonali całą pracę:

$$\text{wydajność wspólna} \times 12 = 1$$

$$\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x-10}\right) \times 12 = 1$$

## Krok 4: Rozwiązanie równania

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{x-10} = \frac{1}{12}$$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika po lewej stronie:

$$\frac{x-10 + x}{x(x-10)} = \frac{1}{12}$$

$$\frac{2x - 10}{x(x-10)} = \frac{1}{12}$$

Mnożymy obie strony przez \(12 \cdot x(x-10)\):

$$12(2x - 10) = x(x - 10)$$

$$24x - 120 = x^2 - 10x$$

$$x^2 - 10x - 24x + 120 = 0$$

$$x^2 - 34x + 120 = 0$$

## Krok 5: Rozwiązanie równania kwadratowego

Obliczamy deltę:

$$\Delta = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 1156 - 480 = 676$$

$$\sqrt{\Delta} = \sqrt{676} = 26$$

$$x_1 = \frac{34 + 26}{2} = \frac{60}{2} = 30$$

$$x_2 = \frac{34 - 26}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

## Krok 6: Sprawdzenie rozwiązań

Dla \(x_2 = 4\): wykwalifikowany pracowałby \(4 - 10 = -6\) dni — **niemożliwe**

Dla \(x_1 = 30\): wykwalifikowany pracowałby \(30 - 10 = 20\) dni — **poprawne**

## Krok 7: Weryfikacja

Sprawdzamy, czy pracując razem wykonają pracę w 12 dni:

$$12 \cdot \left(\frac{1}{30} + \frac{1}{20}\right) = 12 \cdot \left(\frac{2}{60} + \frac{3}{60}\right) = 12 \cdot \frac{5}{60} = 12 \cdot \frac{1}{12} = 1$$ ✓

## Odpowiedź

**Niewykwalifikowany robotnik** wykonałby pracę w **30 dni**.

**Wykwalifikowany robotnik** wykonałby pracę w **20 dni**.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2014