---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2014-32
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2014-32
source: Matura próbna luty 2014
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2014-32

**Źródło:** Matura próbna luty 2014
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Drut o długości \(96\) cm wykorzystano w całości na wykonanie szkieletu ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wszystkich krawędziach równej długości. Zaznacz na rysunku kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy i wyznacz cosinus tego kąta.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-luty-2014-32.png]

Wyznacza się cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy.

## Krok 2: Określenie długości krawędzi

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma:
- podstawę będącą kwadratem (4 krawędzie)
- 4 krawędzie boczne

Wszystkie krawędzie są równej długości, więc ostrosłup ma łącznie 8 krawędzi.

Długość drutu: $$8a = 96 \text{ cm}$$

Zatem: $$a = 12 \text{ cm}$$

## Krok 3: Układ współrzędnych i oznaczenia

Umieszczam podstawę w płaszczyźnie \(xy\) ze środkiem w początku układu:
- \(A = (6, 6, 0)\)
- \(B = (-6, 6, 0)\)
- \(C = (-6, -6, 0)\)
- \(D = (6, -6, 0)\)
- \(S = (0, 0, h)\) — wierzchołek

gdzie \(h\) to wysokość ostrosłupa.

## Krok 4: Wyznaczenie wysokości ostrosłupa

Z warunku, że krawędź boczna ma długość 12 cm:

$$|SA| = 12$$

$$\sqrt{6^2 + 6^2 + h^2} = 12$$

$$\sqrt{72 + h^2} = 12$$

$$72 + h^2 = 144$$

$$h^2 = 72$$

$$h = 6\sqrt{2} \text{ cm}$$

## Krok 5: Znalezienie kąta nachylenia ściany bocznej

Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt między płaszczyzną ściany bocznej a płaszczyzną podstawy.

Rozważam ścianę boczną \(SAB\). Aby wyznaczyć ten kąt, wyznacza się:
- punkt \(M\) — środek krawędzi \(AB\): \(M = (0, 6, 0)\)
- odcinek \(SM\) leży w płaszczyźnie ściany i jest prostopadły do \(AB\)
- odcinek \(OM\) leży w płaszczyźnie podstawy i jest prostopadły do \(AB\)

Szukany kąt \(\alpha = \angle SMO\).

## Krok 6: Obliczenie długości odcinków

$$|OM| = 6 \text{ cm}$$ (promień okręgu wpisanego w podstawę)

$$|SM| = \sqrt{|SO|^2 + |OM|^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + 6^2} = \sqrt{72 + 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \text{ cm}$$

## Krok 7: Wyznaczenie cosinusa kąta

Z trójkąta prostokątnego \(SMO\):

$$\cos \alpha = \frac{|OM|}{|SM|} = \frac{6}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

## Zaznaczenie kąta na rysunku

Kąt \(\alpha\) to kąt między odcinkiem \(SM\) (apotema ściany bocznej) a odcinkiem \(OM\) (apotema podstawy), mierzony w płaszczyźnie przekroju przez wysokość ostrosłupa.

**Odpowiedź:** $$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2014