---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2014-31
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2014-31
source: Matura próbna luty 2014
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2014-31

**Źródło:** Matura próbna luty 2014
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Ciąg \( (2x – 1, y, 6x + 3)\ \) jest arytmetyczny, a ciąg \( (3, y, 27)\ \) jest geometryczny rosnący. Oblicz \(x\) i \(y\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(x=2\), \(y=9\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Korzysta się z definicji ciągu arytmetycznego i geometrycznego.

## Warunek dla ciągu arytmetycznego

Ciąg \((2x - 1, y, 6x + 3)\) jest arytmetyczny, więc różnica między kolejnymi wyrazami jest stała:

$$y - (2x - 1) = (6x + 3) - y$$

Upraszcza się:

$$y - 2x + 1 = 6x + 3 - y$$

$$2y = 6x + 3 + 2x - 1$$

$$2y = 8x + 2$$

$$y = 4x + 1 \quad \text{(równanie 1)}$$

## Warunek dla ciągu geometrycznego

Ciąg \((3, y, 27)\) jest geometryczny, więc iloraz kolejnych wyrazów jest stały:

$$\frac{y}{3} = \frac{27}{y}$$

Mnoży się obie strony przez \(3y\):

$$y^2 = 81$$

$$y = 9 \quad \text{lub} \quad y = -9$$

## Ustalenie znaku \(y\)

Ciąg geometryczny jest rosnący. Sprawdza się oba przypadki:

- Dla \(y = 9\): ciąg to \((3, 9, 27)\) — iloraz \(q = 3 > 1\), więc ciąg rosnący ✓
- Dla \(y = -9\): ciąg to \((3, -9, 27)\) — wyrazy zmieniają znak, więc nie jest rosnący ✗

Zatem \(y = 9\).

## Obliczenie \(x\)

Podstawia się \(y = 9\) do równania (1):

$$9 = 4x + 1$$

$$8 = 4x$$

$$x = 2$$

## Sprawdzenie

Dla \(x = 2\) i \(y = 9\):
- Ciąg arytmetyczny: \((2 \cdot 2 - 1, 9, 6 \cdot 2 + 3) = (3, 9, 15)\) — różnica \(r = 6\) ✓
- Ciąg geometryczny: \((3, 9, 27)\) — iloraz \(q = 3\), rosnący ✓

**Odpowiedź:** \(x = 2\), \(y = 9\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2014