---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2014-30
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2014-30
source: Matura próbna luty 2014
category: Prawdopodobieństwo
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2014-30

**Źródło:** Matura próbna luty 2014
**Kategoria:** Prawdopodobieństwo
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Ze zbioru liczb \( {1, 2, 3, 4, 5, 6} \) losujemy dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą podzielną przez \( 3 \).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{1}{3}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

## Krok 1: Określenie przestrzeni zdarzeń elementarnych

Losujemy dwa razy po jednej liczbie **bez zwracania** ze zbioru \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).

Liczba wszystkich możliwych wyników (par uporządkowanych):
$$|Ω| = 6 \cdot 5 = 30$$

(pierwsza liczba: 6 możliwości, druga liczba: 5 możliwości, bo nie zwracamy)

## Krok 2: Analiza podzielności przez 3

Sprawdźmy reszty z dzielenia liczb ze zbioru przez 3:
- \(1 \equiv 1 \pmod{3}\)
- \(2 \equiv 2 \pmod{3}\)
- \(3 \equiv 0 \pmod{3}\)
- \(4 \equiv 1 \pmod{3}\)
- \(5 \equiv 2 \pmod{3}\)
- \(6 \equiv 0 \pmod{3}\)

Pogrupujmy liczby według reszt:
- Reszta 0: \(\{3, 6\}\) — 2 liczby
- Reszta 1: \(\{1, 4\}\) — 2 liczby
- Reszta 2: \(\{2, 5\}\) — 2 liczby

## Krok 3: Warunek podzielności sumy przez 3

Suma dwóch liczb jest podzielna przez 3, gdy suma ich reszt jest podzielna przez 3.

Możliwe kombinacje reszt:
- \(0 + 0 \equiv 0 \pmod{3}\) ✓
- \(1 + 2 \equiv 0 \pmod{3}\) ✓
- \(2 + 1 \equiv 0 \pmod{3}\) ✓

## Krok 4: Zliczenie korzystnych zdarzeń

**Przypadek 1:** Obie liczby z grupy "reszta 0"
$$2 \cdot 1 = 2 \text{ pary: } (3,6), (6,3)$$

**Przypadek 2:** Pierwsza z grupy "reszta 1", druga z grupy "reszta 2"
$$2 \cdot 2 = 4 \text{ pary: } (1,2), (1,5), (4,2), (4,5)$$

**Przypadek 3:** Pierwsza z grupy "reszta 2", druga z grupy "reszta 1"
$$2 \cdot 2 = 4 \text{ pary: } (2,1), (2,4), (5,1), (5,4)$$

Łącznie zdarzeń sprzyjających:
$$|A| = 2 + 4 + 4 = 10$$

## Krok 5: Obliczenie prawdopodobieństwa

$$P(A) = \frac{|A|}{|Ω|} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$$

**Odpowiedź:** \(\frac{1}{3}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/prawdopodobienstwo
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2014