---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2014-29
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2014-29
source: Matura próbna luty 2014
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2014-29

**Źródło:** Matura próbna luty 2014
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Udowodnij, że punkty \( A=(1,2), B=(-2,8)\) i \( C=(-25,54) \) są współliniowe.

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Punkty są współliniowe, gdy leżą na jednej prostej. Sprawdzimy to na dwa sposoby.

## Sposób I: Współliniowość przez wektory

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) są współliniowe, gdy wektory \(\overrightarrow{AB}\) i \(\overrightarrow{AC}\) są równoległe (jeden jest wielokrotnością drugiego).

**Oblicza się wektor \(\overrightarrow{AB}\):**

$$\overrightarrow{AB} = [B_x - A_x, B_y - A_y] = [-2-1, 8-2] = [-3, 6]$$

**Oblicza się wektor \(\overrightarrow{AC}\):**

$$\overrightarrow{AC} = [C_x - A_x, C_y - A_y] = [-25-1, 54-2] = [-26, 52]$$

**Sprawdza się, czy \(\overrightarrow{AC} = k \cdot \overrightarrow{AB}\) dla pewnego \(k \in \mathbb{R}\):**

$$[-26, 52] = k \cdot [-3, 6]$$

Z pierwszej współrzędnej:
$$-26 = k \cdot (-3) \implies k = \frac{-26}{-3} = \frac{26}{3}$$

Z drugiej współrzędnej:
$$52 = k \cdot 6 \implies k = \frac{52}{6} = \frac{26}{3}$$

Otrzymaliśmy tę samą wartość \(k = \frac{26}{3}\), więc:

$$\overrightarrow{AC} = \frac{26}{3} \cdot \overrightarrow{AB}$$

## Sposób II: Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

**Wyznacza się równanie prostej przez punkty \(A\) i \(B\):**

Współczynnik kierunkowy:
$$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{8-2}{-2-1} = \frac{6}{-3} = -2$$

Równanie prostej \(AB\): \(y - y_A = a(x - x_A)\)

$$y - 2 = -2(x - 1)$$
$$y - 2 = -2x + 2$$
$$y = -2x + 4$$

**Sprawdza się, czy punkt \(C=(-25, 54)\) należy do tej prostej:**

$$y_C = -2 \cdot (-25) + 4 = 50 + 4 = 54 \checkmark$$

Punkt \(C\) spełnia równanie prostej \(AB\).

---

**Wniosek:** Punkty \(A\), \(B\) i \(C\) są współliniowe. ∎

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2014