---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2014-23
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2014-23
source: Matura próbna luty 2014
category: Stereometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2014-23

**Źródło:** Matura próbna luty 2014
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Jeżeli wysokość stożka zwiększymy trzykrotnie, a długość promienia zmniejszymy trzy razy, to objętość nowego stożka:

## Odpowiedzi

- **A.** zwiększy się trzy razy
- **B.** zmniejszy się trzy razy
- **C.** zmniejszy się dziewięć razy
- **D.** nie zmieni się

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-luty-2014-23.png]

Oznacza się dane z treści zadania:
- początkowy promień podstawy: \(r\)
- początkowa wysokość: \(h\)
- nowy promień: \(r' = \frac{r}{3}\)
- nowa wysokość: \(h' = 3h\)

**Krok 2: Wzór na objętość stożka**

Objętość stożka dana jest wzorem:
$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

**Krok 3: Oblicza się objętość początkową**

$$V_1 = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

**Krok 4: Oblicza się objętość nowego stożka**

Podstawia się \(r' = \frac{r}{3}\) i \(h' = 3h\):

$$V_2 = \frac{1}{3}\pi (r')^2 h' = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{r}{3}\right)^2 \cdot 3h$$

$$V_2 = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{r^2}{9} \cdot 3h = \frac{1}{3}\pi \cdot r^2 \cdot \frac{3h}{9}$$

$$V_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot \frac{h}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

**Krok 5: Porównuje się objętości**

$$V_2 = \frac{1}{3} \cdot V_1$$

Zatem nowa objętość jest trzy razy mniejsza od początkowej.

**Odpowiedź: B**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2014