---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2014-14
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2014-14
source: Matura próbna luty 2014
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2014-14

**Źródło:** Matura próbna luty 2014
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W trójkącie prostokątnym najdłuższy bok ma długość \(25\), a najkrótszy \(7\). Tangens najmniejszego kąta tego trójkąta jest równy:

## Odpowiedzi

- **A.** \(\frac{7}{24} \)
- **B.** \(\frac{24}{7} \)
- **C.** \(\frac{7}{25} \)
- **D.** \(\frac{24}{25} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-luty-2014-14.png]

Oznaczmy boki trójkąta prostokątnego:
- przeciwprostokątna (najdłuższy bok): \(c = 25\)
- najkrótszy bok (jedna z przyprostokątnych): \(a = 7\)
- druga przyprostokątna: \(b = ?\)

**Krok 2: Znajdźmy długość drugiej przyprostokątnej**

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2 + b^2 = c^2$$

$$7^2 + b^2 = 25^2$$

$$49 + b^2 = 625$$

$$b^2 = 576$$

$$b = 24$$

**Krok 3: Określmy najmniejszy kąt**

W trójkącie prostokątnym:
- kąt prosty wynosi \(90°\)
- dwa kąty ostre sumują się do \(90°\)

Najmniejszy kąt ostry leży **naprzeciwko najkrótszego boku**.

Zatem najmniejszy kąt (oznaczmy go \(\alpha\)) leży naprzeciwko boku o długości \(7\).

**Krok 4: Obliczmy tangens najmniejszego kąta**

Dla kąta \(\alpha\):
- przeciwprostokątna: \(25\)
- przyprostokątna przeciwległa: \(7\)
- przyprostokątna przyległa: \(24\)

$$\tan(\alpha) = \frac{\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\text{przyprostokątna przyległa}} = \frac{7}{24}$$

**Odpowiedź: A**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2014