---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2014-12
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2014-12
source: Matura próbna luty 2014
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2014-12

**Źródło:** Matura próbna luty 2014
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Punkty \( A=(-1,2) \) i \( B=(2,6) \) są wierzchołkami kwadratu \( ABCD \). Pole tego kwadratu jest równe:

## Odpowiedzi

- **A.** \(17 \)
- **B.** \(65 \)
- **C.** \(25 \)
- **D.** \(7 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-luty-2014-12.png]

Musimy znaleźć pole kwadratu ABCD, znając współrzędne dwóch wierzchołków A i B.

**Krok 2: Ustalenie, które wierzchołki mamy**

Punkty A i B mogą być:
- sąsiednimi wierzchołkami (bok kwadratu), lub
- przeciwległymi wierzchołkami (przekątna kwadratu)

**Krok 3: Obliczenie odległości AB**

Stosujemy wzór na odległość między punktami:

$$|AB| = \sqrt{(2-(-1))^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$$

**Krok 4: Rozpatrzenie obu przypadków**

**Przypadek 1:** A i B to sąsiednie wierzchołki (AB jest bokiem)

Jeśli bok kwadratu ma długość \(a = 5\), to:
$$P = a^2 = 5^2 = 25$$

**Przypadek 2:** A i B to przeciwległe wierzchołki (AB jest przekątną)

Jeśli przekątna kwadratu ma długość \(d = 5\), to korzystając ze związku \(d = a\sqrt{2}\):
$$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$

$$P = a^2 = \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{25 \cdot 2}{4} = \frac{50}{4} = 12{,}5$$

**Krok 5: Wybór odpowiedzi**

Wśród podanych odpowiedzi jest tylko wartość \(25\), co odpowiada przypadkowi, gdy A i B są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu.

**Odpowiedź: C**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2014