---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2014-10
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2014-10
source: Matura próbna luty 2014
category: Ciągi
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2014-10

**Źródło:** Matura próbna luty 2014
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Ciąg geometryczny \( (a_n) \) określony jest wzorem \( a_n=\frac{3^n}{4} \). Iloraz tego ciągu jest równy:

## Odpowiedzi

- **A.** \(3 \)
- **B.** \(\frac{3}{4} \)
- **C.** \(\frac{1}{3} \)
- **D.** \(\frac{1}{4} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Aby znaleźć iloraz ciągu geometrycznego, wykorzystamy definicję: iloraz \(q\) to stosunek dowolnego wyrazu do wyrazu poprzedzającego.

**Krok 1: Zapisujemy wzór na iloraz**

$$q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$$

**Krok 2: Obliczamy \(a_{n+1}\)**

Podstawiamy \(n+1\) do wzoru na \(a_n\):

$$a_{n+1} = \frac{3^{n+1}}{4}$$

**Krok 3: Obliczamy iloraz**

$$q = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{3^{n+1}}{4}}{\frac{3^n}{4}}$$

**Krok 4: Upraszczamy ułamek**

Dzielimy ułamek przez ułamek (mnożymy przez odwrotność):

$$q = \frac{3^{n+1}}{4} \cdot \frac{4}{3^n} = \frac{3^{n+1} \cdot 4}{4 \cdot 3^n} = \frac{3^{n+1}}{3^n}$$

**Krok 5: Stosujemy właściwość potęg**

$$q = \frac{3^{n+1}}{3^n} = 3^{n+1-n} = 3^1 = 3$$

**Weryfikacja:** Sprawdźmy na konkretnych wyrazach:
- \(a_1 = \frac{3^1}{4} = \frac{3}{4}\)
- \(a_2 = \frac{3^2}{4} = \frac{9}{4}\)
- \(q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{9/4}{3/4} = \frac{9}{3} = 3\) ✓

**Odpowiedź: A**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2014