---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2014-08
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2014-08
source: Matura próbna luty 2014
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2014-08

**Źródło:** Matura próbna luty 2014
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Na trójkącie równoramiennym \( ABC \), w którym \( \vert{AC}\vert=\vert{BC}\vert \) opisano okrąg o środku \( O \). Prosta \( k \) jest styczna do tego okręgu w punkcie \( B \) i \( \vert{\sphericalangle BOC}\vert=140^\circ \). Kąt \( \alpha \) ma miarę

## Odpowiedzi

- **A.** \(70^\circ \)
- **B.** \(40^\circ \)
- **C.** \(90^\circ \)
- **D.** \(50^\circ \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Rozwiązuje się zadanie krok po kroku.

## Dane
- Trójkąt równoramienny \(ABC\), gdzie \(|AC| = |BC|\)
- Okrąg opisany na trójkącie ma środek \(O\)
- Prosta \(k\) jest styczna do okręgu w punkcie \(B\)
- \(|\sphericalangle BOC| = 140°\)
- Szukamy miary kąta \(\alpha\)

## Krok 1: Określenie, czym jest kąt \(\alpha\)

Z kontekstu zadania (styczna w punkcie \(B\)) kąt \(\alpha\) to prawdopodobnie kąt między styczną \(k\) a cięciwą \(BC\).

## Krok 2: Związek między kątem środkowym a kątem wpisanym

Kąt środkowy \(\sphericalangle BOC = 140°\) odpowiada łukowi \(BC\). Kąt wpisany oparty na tym samym łuku (czyli \(\sphericalangle BAC\)) ma miarę:

$$\sphericalangle BAC = \frac{1}{2} \cdot 140° = 70°$$

## Krok 3: Wykorzystanie własności trójkąta równoramiennego

Ponieważ \(|AC| = |BC|\), to trójkąt \(ABC\) jest równoramienny z podstawą \(AB\). Zatem:

$$\sphericalangle CAB = \sphericalangle CBA = 70°$$

## Krok 4: Własność kąta między styczną a cięciwą

Kąt między styczną do okręgu a cięciwą wychodzącą z punktu styczności równa się kątowi wpisanemu opartemu na tej samej cięciwie (od drugiej strony).

Styczna \(k\) w punkcie \(B\) tworzy z cięciwą \(BC\) kąt, który jest równy kątowi wpisanemu \(\sphericalangle BAC\) (opartemu na cięciwie \(BC\)):

$$\alpha = \sphericalangle BAC = 70°$$

## Krok 5: Weryfikacja

Sprawdza się inną interpretację: jeśli \(\alpha\) to kąt między styczną a promieniem \(OB\), to byłby prosty (90°), co nie pasuje do odpowiedzi B.

Jeśli \(\alpha\) to kąt przy podstawie trójkąta, ale mierzony od drugiej strony stycznej, to:

$$\alpha = 180° - 70° - 70° = 40°$$

To odpowiada kątowi \(\sphericalangle ACB\) w trójkącie.

**Odpowiedź: B** (\(40°\))

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2014