---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2014-06
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2014-06
source: Matura próbna luty 2014
category: Logarytmy
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2014-06

**Źródło:** Matura próbna luty 2014
**Kategoria:** Logarytmy
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Liczba \( \left ( \log_{\sqrt{3}}3\sqrt{3} \right )^4 \) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \(12 \)
- **B.** \(6 \)
- **C.** \(9 \)
- **D.** \(81 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Oblicza się wartość wyrażenia \( \left ( \log_{\sqrt{3}}3\sqrt{3} \right )^4 \).

## Krok 1: Uproszczenie argumentu logarytmu

Przekształca się \( 3\sqrt{3} \):
$$3\sqrt{3} = 3 \cdot 3^{1/2} = 3^{1 + 1/2} = 3^{3/2}$$

## Krok 2: Wyrażenie podstawy logarytmu jako potęga

Przekształca się podstawę \( \sqrt{3} \):
$$\sqrt{3} = 3^{1/2}$$

## Krok 3: Obliczenie logarytmu

Stosuje się wzór na zamianę podstawy lub wzór:
$$\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$$

Zachodzi:
$$\log_{\sqrt{3}}3\sqrt{3} = \log_{3^{1/2}}3^{3/2}$$

Korzysta się ze wzoru \( \log_{a^k} a^m = \frac{m}{k} \):
$$\log_{3^{1/2}}3^{3/2} = \frac{3/2}{1/2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{1} = 3$$

## Krok 4: Podniesienie do czwartej potęgi

$$\left ( \log_{\sqrt{3}}3\sqrt{3} \right )^4 = 3^4 = 81$$

**Odpowiedź: D**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/logarytmy
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2014