---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2013-34
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2013-34
source: Matura próbna luty 2013
category: Stereometria
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2013-34

**Źródło:** Matura próbna luty 2013
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Metalowy stożek, którego tworząca o długości \(10\) jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ \), przetopiono na sześć jednakowych kulek. Oblicz promień kulki.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(r=\frac{5}{2}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-luty-2013-34.png]

Dane zadania:
- długość tworzącej stożka: $$l = 10$$
- kąt nachylenia tworzącej do podstawy: $$\alpha = 30°$$
- stożek przetopiono na 6 jednakowych kulek

Szukamy promienia jednej kulki.

**Krok 2: Wyznaczenie wymiarów stożka**

Rozpatruje się przekrój osiowy stożka. Tworząca $$l$$, wysokość $$H$$ i promień podstawy $$R$$ tworzą trójkąt prostokątny.

Z trójkąta prostokątnego:

$$\sin 30° = \frac{H}{l}$$

$$H = l \cdot \sin 30° = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$$

$$\cos 30° = \frac{R}{l}$$

$$R = l \cdot \cos 30° = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$$

**Krok 3: Obliczenie objętości stożka**

Wzór na objętość stożka:

$$V_{stożka} = \frac{1}{3}\pi R^2 H$$

$$V_{stożka} = \frac{1}{3}\pi \cdot (5\sqrt{3})^2 \cdot 5$$

$$V_{stożka} = \frac{1}{3}\pi \cdot 75 \cdot 5 = \frac{375\pi}{3} = 125\pi$$

**Krok 4: Obliczenie objętości jednej kulki**

Ponieważ metal został przetopiony, objętość się zachowuje:

$$V_{stożka} = 6 \cdot V_{kulki}$$

$$V_{kulki} = \frac{125\pi}{6}$$

**Krok 5: Wyznaczenie promienia kulki**

Wzór na objętość kuli:

$$V_{kulki} = \frac{4}{3}\pi r^3$$

Przyrównuje się:

$$\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{125\pi}{6}$$

$$\frac{4}{3} r^3 = \frac{125}{6}$$

$$r^3 = \frac{125}{6} \cdot \frac{3}{4} = \frac{375}{24} = \frac{125}{8}$$

$$r = \sqrt[3]{\frac{125}{8}} = \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{5}{2}$$

**Odpowiedź:** Promień kulki wynosi $$r = \frac{5}{2}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2013