---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2013-33
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2013-33
source: Matura próbna luty 2013
category: Planimetria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2013-33

**Źródło:** Matura próbna luty 2013
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Oblicz pole i obwód rombu \(ABCD\) wiedząc, że przekątna \(AC\) jest zawarta w prostej o równaniu \(y=2x-2\) oraz \(A=(-1,-4)\) i \(D=(-6,6)\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(O = 20\sqrt{5} \), \(P=120\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-luty-2013-33.png]

Sprawdza się, czy punkt \(A=(-1,-4)\) leży na prostej \(y=2x-2\):
$$y = 2 \cdot (-1) - 2 = -2 - 2 = -4 \checkmark$$

**Krok 2: Wyznacza się punkt \(C\)**

Skoro przekątna \(AC\) leży na prostej \(y=2x-2\), to punkt \(C\) również leży na tej prostej. Oznaczmy \(C=(c, 2c-2)\).

W rombie przekątne przecinają się w połowie, więc środek \(S\) przekątnej \(AC\) jest jednocześnie środkiem przekątnej \(BD\).

Środek \(AC\):
$$S = \left(\frac{-1+c}{2}, \frac{-4+2c-2}{2}\right) = \left(\frac{c-1}{2}, \frac{2c-6}{2}\right) = \left(\frac{c-1}{2}, c-3\right)$$

**Krok 3: Wykorzystuje się własność rombu**

W rombie przekątne są prostopadłe. Wyznacza się wektor \(\overrightarrow{AC}\):
$$\overrightarrow{AC} = (c-(-1), 2c-2-(-4)) = (c+1, 2c+2)$$

Wektor prostopadły do \(\overrightarrow{AC}\) ma postać \((-2c-2, c+1)\) lub współliniowy.

Wektor \(\overrightarrow{DS}\) (od \(D\) do środka \(S\)):
$$\overrightarrow{DS} = \left(\frac{c-1}{2}-(-6), c-3-6\right) = \left(\frac{c+11}{2}, c-9\right)$$

Warunek prostopadłości \(\overrightarrow{AC} \perp \overrightarrow{DS}\):
$$(c+1) \cdot \frac{c+11}{2} + (2c+2)(c-9) = 0$$

$$\frac{(c+1)(c+11)}{2} + (2c+2)(c-9) = 0$$

$$\frac{c^2+12c+11}{2} + 2c^2-18c+2c-18 = 0$$

$$\frac{c^2+12c+11}{2} + 2c^2-16c-18 = 0$$

Mnoży się przez 2:
$$c^2+12c+11 + 4c^2-32c-36 = 0$$

$$5c^2-20c-25 = 0$$

$$c^2-4c-5 = 0$$

$$(c-5)(c+1) = 0$$

Stąd \(c=5\) lub \(c=-1\). Ponieważ \(c=-1\) daje punkt \(A\), więc \(c=5\).

Zatem \(C=(5, 8)\).

**Krok 4: Wyznacza się punkt \(B\)**

Środek przekątnych:
$$S = \left(\frac{-1+5}{2}, \frac{-4+8}{2}\right) = (2, 2)$$

Punkt \(B\) jest symetryczny do \(D=(-6,6)\) względem \(S\):
$$B = (2 \cdot 2 - (-6), 2 \cdot 2 - 6) = (10, -2)$$

**Krok 5: Oblicza się długości przekątnych**

$$|AC| = \sqrt{(5-(-1))^2 + (8-(-4))^2} = \sqrt{36 + 144} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$$

$$|BD| = \sqrt{(10-(-6))^2 + (-2-6)^2} = \sqrt{256 + 64} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}$$

**Krok 6: Oblicza się bok rombu**

Bok rombu (np. \(|AB|\)):
$$|AB| = \sqrt{(10-(-1))^2 + (-2-(-4))^2} = \sqrt{121 + 4} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$$

**Krok 7: Oblicza się obwód i pole**

Obwód:
$$O = 4 \cdot 5\sqrt{5} = 20\sqrt{5}$$

Pole (wzór na pole rombu przez przekątne):
$$P = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BD| = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{5} \cdot 8\sqrt{5} = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 5 = 120$$

**Odpowiedź:** \(O = 20\sqrt{5}\), \(P = 120\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2013