---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2013-32
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2013-32
source: Matura próbna luty 2013
category: Statystyka
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2013-32

**Źródło:** Matura próbna luty 2013
**Kategoria:** Statystyka
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Z miast \(A\) i \(B\) odległych o \(330 \) km wyjechały naprzeciwko siebie dwa samochody. Samochód jadący z miasta \(A\) wyjechał \(20\) minut wcześniej i jechał z prędkością o \(9\) km/h mniejszą niż samochód jadący z miasta \(B\). Samochody te minęły się w odległości \(168\) km licząc od miasta \(A\). Oblicz średnią prędkość każdego z samochodów.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(v_1=72\) km/h, \(v_2=81\) km/h

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Oznaczymy prędkości samochodów:
- \(v_1\) - prędkość samochodu z miasta \(A\)
- \(v_2\) - prędkość samochodu z miasta \(B\)

Z treści zadania wiemy, że:
$$v_1 = v_2 - 9$$

**Analiza dróg i czasów:**

Samochód z miasta \(A\) przejechał \(168\) km do miejsca spotkania.

Samochód z miasta \(B\) przejechał:
$$330 - 168 = 162 \text{ km}$$

**Czas jazdy:**

Samochód z \(A\) jechał przez czas \(t_1\):
$$t_1 = \frac{168}{v_1}$$

Samochód z \(B\) jechał przez czas \(t_2\):
$$t_2 = \frac{162}{v_2}$$

**Warunek czasowy:**

Samochód z \(A\) wyjechał \(20\) minut = \(\frac{20}{60} = \frac{1}{3}\) godziny wcześniej, więc:
$$t_1 = t_2 + \frac{1}{3}$$

**Podstawiamy:**
$$\frac{168}{v_1} = \frac{162}{v_2} + \frac{1}{3}$$

Korzystając z \(v_1 = v_2 - 9\):
$$\frac{168}{v_2 - 9} = \frac{162}{v_2} + \frac{1}{3}$$

**Mnożymy obie strony przez \(3v_2(v_2 - 9)\):**
$$3v_2 \cdot 168 = 3(v_2 - 9) \cdot 162 + v_2(v_2 - 9)$$

$$504v_2 = 486(v_2 - 9) + v_2(v_2 - 9)$$

$$504v_2 = 486v_2 - 4374 + v_2^2 - 9v_2$$

$$504v_2 = 477v_2 - 4374 + v_2^2$$

$$0 = v_2^2 - 27v_2 - 4374$$

**Rozwiązujemy równanie kwadratowe:**
$$v_2^2 - 27v_2 - 4374 = 0$$

$$\Delta = 27^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4374) = 729 + 17496 = 18225 = 135^2$$

$$v_2 = \frac{27 \pm 135}{2}$$

$$v_2 = \frac{162}{2} = 81 \quad \text{lub} \quad v_2 = \frac{-108}{2} = -54$$

Odrzucamy rozwiązanie ujemne: \(v_2 = 81\) km/h

Stąd:
$$v_1 = v_2 - 9 = 81 - 9 = 72 \text{ km/h}$$

**Sprawdzenie:**
- Czas jazdy samochodu z \(A\): \(t_1 = \frac{168}{72} = \frac{7}{3}\) h
- Czas jazdy samochodu z \(B\): \(t_2 = \frac{162}{81} = 2\) h
- Różnica: \(\frac{7}{3} - 2 = \frac{1}{3}\) h = 20 minut ✓

**Odpowiedź:** \(v_1 = 72\) km/h, \(v_2 = 81\) km/h

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/statystyka
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2013