---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2013-30
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2013-30
source: Matura próbna luty 2013
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2013-30

**Źródło:** Matura próbna luty 2013
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W trójkącie równoramiennym \(ABC\) o podstawie \(AB\) poprowadzono wysokość z wierzchołka \(C\). Wyznacz równanie prostej zawierającej tę wysokość, jeśli \(A = (2, 8)\), \(B = (-2, 4)\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(y=-x+6\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-luty-2013-30.png]

Trójkąt równoramienny ma podstawę \(AB\), więc ramiona \(CA\) i \(CB\) są równej długości. Wysokość z wierzchołka \(C\) na podstawę \(AB\) przechodzi przez środek \(AB\) (bo w trójkącie równoramiennym wysokość z wierzchołka między ramionami jest jednocześnie środkową).

**Krok 2: Wyznacza się środek odcinka \(AB\)**

Środek \(S\) odcinka \(AB\):
$$S = \left(\frac{2+(-2)}{2}, \frac{8+4}{2}\right) = \left(0, 6\right)$$

**Krok 3: Wyznacza się wektor kierunkowy prostej \(AB\)**

$$\vec{AB} = B - A = (-2-2, 4-8) = (-4, -4)$$

Możemy uprościć: wektor kierunkowy prostej \(AB\) to \((1, 1)\) (podzielone przez \(-4\)).

**Krok 4: Wyznacza się wektor normalny do prostej \(AB\)**

Jeśli prosta ma wektor kierunkowy \((a, b)\), to wektor prostopadły to \((-b, a)\) lub \((b, -a)\).

Dla wektora kierunkowego \((1, 1)\), wektor prostopadły to \((-1, 1)\) lub \((1, -1)\).

**Krok 5: Wyznacza się równanie wysokości**

Wysokość przechodzi przez punkt \(S = (0, 6)\) i ma wektor kierunkowy prostopadły do \(AB\), czyli np. \((1, -1)\).

Równanie prostej w postaci kierunkowej:
$$\frac{x - 0}{1} = \frac{y - 6}{-1}$$

$$x = \frac{y - 6}{-1}$$

$$x = -y + 6$$

$$y = -x + 6$$

**Sprawdzenie:** 
- Prosta przechodzi przez \(S = (0, 6)\): \(6 = -0 + 6\) ✓
- Współczynnik kierunkowy wysokości: \(-1\)
- Współczynnik kierunkowy \(AB\): \(\frac{4-8}{-2-2} = \frac{-4}{-4} = 1\)
- Iloczyn: \((-1) \cdot 1 = -1\) ✓ (proste prostopadłe)

**Odpowiedź:** \(y = -x + 6\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2013