---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2013-29
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2013-29
source: Matura próbna luty 2013
category: Potęgi i pierwiastki
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2013-29

**Źródło:** Matura próbna luty 2013
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że liczby \(a=\frac{-5}{2\sqrt{2}+3}\) oraz \(b=|10\sqrt{2}-15|\) są liczbami przeciwnymi.

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Aby wykazać, że liczby są przeciwne, trzeba pokazać, że \(a + b = 0\) lub równoważnie \(b = -a\).

## Krok 1: Przekształcenie liczby \(a\)

Usuwam niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone \(2\sqrt{2} - 3\):

$$a = \frac{-5}{2\sqrt{2}+3} \cdot \frac{2\sqrt{2}-3}{2\sqrt{2}-3}$$

Licznik:
$$-5(2\sqrt{2}-3) = -10\sqrt{2} + 15$$

Mianownik (wzór skróconego mnożenia \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)):
$$(2\sqrt{2})^2 - 3^2 = 8 - 9 = -1$$

Zatem:
$$a = \frac{-10\sqrt{2} + 15}{-1} = 10\sqrt{2} - 15$$

## Krok 2: Przekształcenie liczby \(b\)

Upraszcza się wartość bezwzględną. Trzeba sprawdzić znak wyrażenia \(10\sqrt{2} - 15\).

Porównuje się \(10\sqrt{2}\) z \(15\):
$$10\sqrt{2} \stackrel{?}{<} 15$$
$$\sqrt{2} \stackrel{?}{<} 1{,}5$$

Podnosi się obie strony do kwadratu (obie są dodatnie):
$$2 < 2{,}25$$

To prawda, więc \(10\sqrt{2} < 15\), czyli \(10\sqrt{2} - 15 < 0\).

Zatem:
$$b = |10\sqrt{2} - 15| = -(10\sqrt{2} - 15) = -10\sqrt{2} + 15 = 15 - 10\sqrt{2}$$

## Krok 3: Sprawdzenie warunku

Mamy:
- \(a = 10\sqrt{2} - 15\)
- \(b = 15 - 10\sqrt{2}\)

Oblicza się sumę:
$$a + b = (10\sqrt{2} - 15) + (15 - 10\sqrt{2}) = 10\sqrt{2} - 10\sqrt{2} - 15 + 15 = 0$$

Ponieważ \(a + b = 0\), liczby \(a\) i \(b\) są liczbami przeciwnymi. ∎

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2013