---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2013-28
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2013-28
source: Matura próbna luty 2013
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2013-28

**Źródło:** Matura próbna luty 2013
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Oblicz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego wiedząc, że trzeci wyraz jest równy \(18\), a szósty \(486\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(a_1=2\), \(q=3\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Wykorzystuje się wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)

**Krok 1: Zapisuje się dane z treści zadania**

Trzeci wyraz: \(a_3 = 18\)
$$a_3 = a_1 \cdot q^{3-1} = a_1 \cdot q^2 = 18$$

Szósty wyraz: \(a_6 = 486\)
$$a_6 = a_1 \cdot q^{6-1} = a_1 \cdot q^5 = 486$$

**Krok 2: Wyznacza się iloraz q dzieląc równania stronami**

Podzielę drugie równanie przez pierwsze, aby wyeliminować \(a_1\):

$$\frac{a_1 \cdot q^5}{a_1 \cdot q^2} = \frac{486}{18}$$

$$q^{5-2} = 27$$

$$q^3 = 27$$

$$q = \sqrt[3]{27} = 3$$

**Krok 3: Oblicza się pierwszy wyraz \(a_1\)**

Podstawia się \(q = 3\) do pierwszego równania:

$$a_1 \cdot 3^2 = 18$$

$$a_1 \cdot 9 = 18$$

$$a_1 = \frac{18}{9} = 2$$

**Krok 4: Sprawdzenie**

- \(a_3 = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18\) ✓
- \(a_6 = 2 \cdot 3^5 = 2 \cdot 243 = 486\) ✓

**Odpowiedź:** \(a_1 = 2\), \(q = 3\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2013