---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2013-27
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2013-27
source: Matura próbna luty 2013
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2013-27

**Źródło:** Matura próbna luty 2013
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Na boku \(DC\) kwadratu \(ABCD\) obrano punkt \(K\) tak, że \(|DK| = |KC|\) (rys.). Przekątna \(AC\) kwadratu przecina odcinek \(BK\) w punkcie \(P\). Uzasadnij, że pole trójkąta \(ABP\) jest czterokrotnie większe niż pole trójkąta \(KCP\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Przyjmijmy układ współrzędnych z wierzchołkiem \(A\) w początku układu.

## Krok 1: Ustalenie współrzędnych

Niech kwadrat \(ABCD\) ma bok długości \(2a\). Wtedy:
- \(A = (0, 0)\)
- \(B = (2a, 0)\)
- \(C = (2a, 2a)\)
- \(D = (0, 2a)\)

Punkt \(K\) leży na boku \(DC\) i \(|DK| = |KC|\), więc \(K\) jest środkiem \(DC\):
$$K = \left(a, 2a\right)$$

## Krok 2: Równania prostych

**Prosta \(AC\)** (przekątna kwadratu):
- Przechodzi przez \(A(0,0)\) i \(C(2a, 2a)\)
- Równanie: \(y = x\)

**Prosta \(BK\)**:
- Przechodzi przez \(B(2a, 0)\) i \(K(a, 2a)\)
- Współczynnik kierunkowy: \(m = \frac{2a - 0}{a - 2a} = \frac{2a}{-a} = -2\)
- Równanie: \(y - 0 = -2(x - 2a)\), czyli \(y = -2x + 4a\)

## Krok 3: Znalezienie punktu przecięcia \(P\)

Punkt \(P\) spełnia oba równania:
$$x = -2x + 4a$$
$$3x = 4a$$
$$x = \frac{4a}{3}$$

Zatem:
$$P = \left(\frac{4a}{3}, \frac{4a}{3}\right)$$

## Krok 4: Obliczenie pola trójkąta \(ABP\)

Podstawa: \(|AB| = 2a\)

Wysokość: odległość punktu \(P\) od osi \(Ox\) (na której leży \(AB\)):
$$h_1 = \frac{4a}{3}$$

Pole:
$$S_{ABP} = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot \frac{4a}{3} = \frac{4a^2}{3}$$

## Krok 5: Obliczenie pola trójkąta \(KCP\)

Użyjemy wzoru z wyznacznika dla wierzchołków \(K(a, 2a)\), \(C(2a, 2a)\), \(P\left(\frac{4a}{3}, \frac{4a}{3}\right)\):

$$S_{KCP} = \frac{1}{2}\left|x_K(y_C - y_P) + x_C(y_P - y_K) + x_P(y_K - y_C)\right|$$

$$= \frac{1}{2}\left|a\left(2a - \frac{4a}{3}\right) + 2a\left(\frac{4a}{3} - 2a\right) + \frac{4a}{3}(2a - 2a)\right|$$

$$= \frac{1}{2}\left|a \cdot \frac{2a}{3} + 2a \cdot \left(-\frac{2a}{3}\right) + 0\right|$$

$$= \frac{1}{2}\left|\frac{2a^2}{3} - \frac{4a^2}{3}\right| = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a^2}{3} = \frac{a^2}{3}$$

## Krok 6: Porównanie pól

$$\frac{S_{ABP}}{S_{KCP}} = \frac{\frac{4a^2}{3}}{\frac{a^2}{3}} = 4$$

**Wniosek:** Pole trójkąta \(ABP\) jest czterokrotnie większe niż pole trójkąta \(KCP\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2013