---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2013-24
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2013-24
source: Matura próbna luty 2013
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2013-24

**Źródło:** Matura próbna luty 2013
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W trapezie miary kątów ostrych są równe \(30^\circ \) i \(60^\circ \). Wówczas stosunek długości krótszego ramienia do dłuższego jest równy:

## Odpowiedzi

- **A.** \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)
- **B.** \( \frac{1}{3} \)
- **C.** \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
- **D.** \( \frac{1}{2} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-luty-2013-24.png]

Rozważam trapez o kątach ostrych \(30°\) i \(60°\).

**Krok 2: Ustawienie trapezu**

W trapezie równoramiennym kąty przy każdej podstawie są równe, więc kąty ostre \(30°\) i \(60°\) muszą leżeć przy różnych podstawach. Rozpatruje się trapez \(ABCD\), gdzie:
- \(AB\) – podstawa dolna (dłuższa)
- \(CD\) – podstawa górna (krótsza)
- kąt przy \(A\) wynosi \(60°\)
- kąt przy \(B\) wynosi \(30°\)

**Krok 3: Wysokości z wierzchołków górnych**

Opuszczam wysokości z punktów \(C\) i \(D\) na podstawę \(AB\). Niech:
- wysokość trapezu = \(h\)
- ramię \(AD = a\)
- ramię \(BC = b\)

**Krok 4: Analiza trójkąta przy wierzchołku \(A\)**

W trójkącie prostokątnym powstałym po opuszczeniu wysokości z \(D\):
- kąt przy \(A\) = \(60°\)
- przeciwprostokątna = \(a\)
- przyprostokątna (wysokość) = \(h\)

Z definicji sinusa:
$$\sin(60°) = \frac{h}{a}$$
$$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{a}$$
$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

**Krok 5: Analiza trójkąta przy wierzchołku \(B\)**

W trójkącie prostokątnym powstałym po opuszczeniu wysokości z \(C\):
- kąt przy \(B\) = \(30°\)
- przeciwprostokątna = \(b\)
- przyprostokątna (wysokość) = \(h\)

Z definicji sinusa:
$$\sin(30°) = \frac{h}{b}$$
$$\frac{1}{2} = \frac{h}{b}$$
$$h = \frac{b}{2}$$

**Krok 6: Wyznaczenie stosunku ramion**

Przyrównuje się oba wyrażenia na wysokość \(h\):
$$\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{b}{2}$$
$$a\sqrt{3} = b$$
$$\frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

**Krok 7: Ustalenie, które ramię jest krótsze**

Ponieważ \(b = a\sqrt{3}\) i \(\sqrt{3} > 1\), to \(b > a\).

Zatem ramię \(a\) jest krótsze, a ramię \(b\) jest dłuższe.

Stosunek krótszego ramienia do dłuższego:
$$\frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

**Odpowiedź: A**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2013