---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2013-20
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2013-20
source: Matura próbna luty 2013
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2013-20

**Źródło:** Matura próbna luty 2013
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Wartość wyrażenia \(\sin^{2} 23^\circ +\sin^{2} 67^\circ \) jest równa:

## Odpowiedzi

- **A.** \( 2\sin^{2} 23^\circ \)
- **B.** \( 2\sin^{2} 67^\circ \)
- **C.** \( 1 \)
- **D.** \( 0 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Zauważmy, że kąty 23° i 67° są szczególnie powiązane:

$$23° + 67° = 90°$$

Oznacza to, że są to **kąty dopełniające się**.

Wykorzystamy podstawową własność funkcji trygonometrycznych dla kątów dopełniających:

$$\sin(90° - \alpha) = \cos \alpha$$

Zastosujmy to dla kąta 67°:

$$\sin 67° = \sin(90° - 23°) = \cos 23°$$

Podstawmy to do wyjściowego wyrażenia:

$$\sin^2 23° + \sin^2 67° = \sin^2 23° + \cos^2 23°$$

Korzystamy z **jedynki trygonometrycznej** (tożsamość podstawowa):

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Dla \(\alpha = 23°\):

$$\sin^2 23° + \cos^2 23° = 1$$

**Odpowiedź: C**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2013