---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2013-19
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2013-19
source: Matura próbna luty 2013
category: Ciągi
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2013-19

**Źródło:** Matura próbna luty 2013
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Ciągiem arytmetycznym jest ciąg o wyrazie ogólnym \(a_n\) równym:

## Odpowiedzi

- **A.** \( a_n=3\cdot 2^n \)
- **B.** \( a_n=\frac{4n^2-9}{3+2n} \)
- **C.** \( a_n=\frac{2n+3}{n+2} \)
- **D.** \( a_n=\frac{n^2+1}{3} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Sprawdza się kolejno każdą opcję, pamiętając, że ciąg arytmetyczny ma stałą różnicę \(r = a_{n+1} - a_n\).

## Opcja A: \(a_n = 3 \cdot 2^n\)

Oblicza się kilka wyrazów:
- \(a_1 = 3 \cdot 2^1 = 6\)
- \(a_2 = 3 \cdot 2^2 = 12\)
- \(a_3 = 3 \cdot 2^3 = 24\)

Różnice: \(a_2 - a_1 = 6\), \(a_3 - a_2 = 12\)

Różnice nie są stałe, więc to **nie jest ciąg arytmetyczny**.

## Opcja B: \(a_n = \frac{4n^2-9}{3+2n}\)

Najpierw upraszcza się wyrażenie, rozkładając licznik na czynniki:

$$4n^2 - 9 = (2n)^2 - 3^2 = (2n-3)(2n+3)$$

Zatem:
$$a_n = \frac{(2n-3)(2n+3)}{2n+3} = 2n - 3$$

dla \(n \geq 1\) (warunek \(2n+3 \neq 0\) jest spełniony).

Sprawdza się różnicę:
$$a_{n+1} - a_n = [2(n+1)-3] - [2n-3] = 2n+2-3-2n+3 = 2$$

Różnica jest stała i wynosi \(r = 2\), więc **to jest ciąg arytmetyczny**.

## Opcja C: \(a_n = \frac{2n+3}{n+2}\)

Oblicza się kilka wyrazów:
- \(a_1 = \frac{5}{3}\)
- \(a_2 = \frac{7}{4}\)
- \(a_3 = \frac{9}{5}\)

Różnice:
$$a_2 - a_1 = \frac{7}{4} - \frac{5}{3} = \frac{21-20}{12} = \frac{1}{12}$$

$$a_3 - a_2 = \frac{9}{5} - \frac{7}{4} = \frac{36-35}{20} = \frac{1}{20}$$

Różnice nie są stałe, więc to **nie jest ciąg arytmetyczny**.

## Opcja D: \(a_n = \frac{n^2+1}{3}\)

Oblicza się różnicę:
$$a_{n+1} - a_n = \frac{(n+1)^2+1}{3} - \frac{n^2+1}{3} = \frac{(n+1)^2 - n^2}{3} = \frac{2n+1}{3}$$

Różnica zależy od \(n\), więc **nie jest ciąg arytmetyczny**.

**Odpowiedź: B**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2013