---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2013-09
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2013-09
source: Matura próbna luty 2013
category: Wyrażenia algebraiczne
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2013-09

**Źródło:** Matura próbna luty 2013
**Kategoria:** Wyrażenia algebraiczne
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Wielomian \(W(x)=x^3-5x^2-3x+15\) rozłożony na czynniki ma postać

## Odpowiedzi

- **A.** \( W(x)=(x-3)(x+3)(x-5) \)
- **B.** \( W(x)=(x-5)(x+5)(x^2-3) \)
- **C.** \( W(x)=(x-5)(x-5)(x^2-3) \)
- **D.** \( W(x)=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(x-5) \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Szukamy rozkładu wielomianu \(W(x) = x^3 - 5x^2 - 3x + 15\) na czynniki.

**Krok 1: Grupowanie wyrazów**

Pogrupujmy wyrazy, aby wyłączyć wspólne czynniki:

$$W(x) = x^3 - 5x^2 - 3x + 15 = (x^3 - 5x^2) + (-3x + 15)$$

**Krok 2: Wyłączanie przed nawias**

Z pierwszej pary wyłączamy \(x^2\), z drugiej \(-3\):

$$W(x) = x^2(x - 5) - 3(x - 5)$$

**Krok 3: Wyłączanie wspólnego czynnika \((x-5)\)**

Zauważamy, że oba składniki zawierają \((x - 5)\):

$$W(x) = (x - 5)(x^2 - 3)$$

**Krok 4: Rozkład dalej \(x^2 - 3\)**

Wyrażenie \(x^2 - 3\) to różnica kwadratów, którą możemy rozłożyć według wzoru \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\):

$$x^2 - 3 = x^2 - (\sqrt{3})^2 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$$

**Krok 5: Pełny rozkład**

$$W(x) = (x - 5)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$$

**Weryfikacja:** Sprawdźmy przez podstawienie \(x = 5\):
$$W(5) = 125 - 125 - 15 + 15 = 0$$ ✓

Pierwiastkami wielomianu są: \(x = 5\), \(x = \sqrt{3}\), \(x = -\sqrt{3}\)

**Odpowiedź: D**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/wyrazenia-algebraiczne
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2013