---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2013-07
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2013-07
source: Matura próbna luty 2013
category: Potęgi i pierwiastki
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2013-07

**Źródło:** Matura próbna luty 2013
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Wyrażenie \(\sqrt[3]{9}\cdot \sqrt[5]{27}\) zapisane w postaci potęgi liczby \(3\) jest równe:

## Odpowiedzi

- **A.** \( 3^{\frac{2}{5}} \)
- **B.** \( 3^{\frac{5}{8}} \)
- **C.** \( 3^{\frac{19}{15}} \)
- **D.** \( 3^{\frac{8}{5}} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Przekształca się wyrażenie \(\sqrt[3]{9}\cdot \sqrt[5]{27}\) na postać potęgi liczby 3.

**Krok 1:** Zapisuje się liczby 9 i 27 jako potęgi liczby 3

$$9 = 3^2$$
$$27 = 3^3$$

**Krok 2:** Zapisuje się pierwiastki jako potęgi z wykładnikiem ułamkowym

Korzysta się ze wzoru: \(\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\)

$$\sqrt[3]{9} = 9^{\frac{1}{3}} = (3^2)^{\frac{1}{3}}$$

$$\sqrt[5]{27} = 27^{\frac{1}{5}} = (3^3)^{\frac{1}{5}}$$

**Krok 3:** Upraszcza się potęgi potęg

Korzysta się ze wzoru: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)

$$\sqrt[3]{9} = (3^2)^{\frac{1}{3}} = 3^{2 \cdot \frac{1}{3}} = 3^{\frac{2}{3}}$$

$$\sqrt[5]{27} = (3^3)^{\frac{1}{5}} = 3^{3 \cdot \frac{1}{5}} = 3^{\frac{3}{5}}$$

**Krok 4:** Pomnożę potęgi o tej samej podstawie

Korzysta się ze wzoru: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)

$$\sqrt[3]{9}\cdot \sqrt[5]{27} = 3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{5}} = 3^{\frac{2}{3} + \frac{3}{5}}$$

**Krok 5:** Dodam ułamki

Sprowadza się do wspólnego mianownika (15):

$$\frac{2}{3} + \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{10}{15} + \frac{9}{15} = \frac{19}{15}$$

**Wynik:**

$$\sqrt[3]{9}\cdot \sqrt[5]{27} = 3^{\frac{19}{15}}$$

**Odpowiedź: C**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2013