---
route: /task/matura-pr-bna-luty-2013-05
title: Zadanie matura-pr-bna-luty-2013-05
source: Matura próbna luty 2013
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-luty-2013-05

**Źródło:** Matura próbna luty 2013
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości \(3\) i \(9\). Sinus najmniejszego kąta tego trójkąta jest równy:

## Odpowiedzi

- **A.** \( \frac{3\sqrt{10}}{10} \)
- **B.** \( \frac{1}{3} \)
- **C.** \( \frac{\sqrt{10}}{10} \)
- **D.** \( \frac{\sqrt{10}}{30} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-luty-2013-05.png]

Dane: przyprostokątne mają długości \(a = 3\) i \(b = 9\).

**Krok 2: Oblicza się długość przeciwprostokątnej**

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 9^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90}$$

Upraszcza się:
$$c = \sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = 3\sqrt{10}$$

**Krok 3: Identyfikuję najmniejszy kąt**

W trójkącie prostokątnym:
- kąt prosty = \(90°\) (największy)
- dwa kąty ostre

Najmniejszy kąt ostry leży **naprzeciw najkrótszego boku**.

Najkrótszy bok to \(a = 3\), więc najmniejszy kąt (oznaczmy go \(\alpha\)) leży naprzeciw tego boku.

**Krok 4: Oblicza się sinus najmniejszego kąta**

Sinus kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej:

$$\sin \alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{3}{3\sqrt{10}}$$

**Krok 5: Upraszcza się wyrażenie**

$$\sin \alpha = \frac{3}{3\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$$

Wymierniamy mianownik:
$$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$$

**Odpowiedź: C**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-luty-2013