---
route: /task/matura-pr-bna-kwiecie-2020-31
title: Zadanie matura-pr-bna-kwiecie-2020-31
source: Matura próbna kwiecień 2020
category: Ciągi
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-kwiecie-2020-31

**Źródło:** Matura próbna kwiecień 2020
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Ciąg \((a,b,c)\) jest geometryczny, a ciąg \(\left(a,\frac{c}{6},b-4\right)\) jest arytmetyczny. Ponadto \(a+b+c=52\). Wyznacz \(a,b,c\). Znajdź wszystkie rozwiązania.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(a=4, b=12, c=36\) lub \(a=64,b=-48,c=36\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Wykorzystanie warunku ciągu arytmetycznego.

Ciąg \(\left(a,\frac{c}{6},b-4\right)\) jest arytmetyczny, więc:

$$\frac{c}{6}-a=(b-4)-\frac{c}{6}$$

$$\frac{2c}{6}=a+b-4 \quad\Rightarrow\quad \frac{c}{3}=a+b-4 \quad\Rightarrow\quad c=3(a+b-4)$$

Krok 2. Wyznaczenie \(c\) z sumy.

$$a+b+c=52 \quad\Rightarrow\quad a+b+3(a+b-4)=52$$

$$4(a+b)-12=52 \quad\Rightarrow\quad a+b=16, \quad c=36$$

Krok 3. Wykorzystanie warunku ciągu geometrycznego.

Ciąg \((a,b,c)\) jest geometryczny, więc \(b^2=ac=36a\), zatem \(a=\frac{b^2}{36}\).

Podstawiając do \(a+b=16\):

$$\frac{b^2}{36}+b=16 \quad\Rightarrow\quad b^2+36b-576=0$$

$$\Delta=1296+2304=3600, \quad \sqrt{\Delta}=60$$

$$b=\frac{-36+60}{2}=12 \quad\lor\quad b=\frac{-36-60}{2}=-48$$

Dla \(b=12\): \(a=4, c=36\). Dla \(b=-48\): \(a=64, c=36\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-kwiecien-2020