---
route: /task/matura-pr-bna-kwiecie-2020-30
title: Zadanie matura-pr-bna-kwiecie-2020-30
source: Matura próbna kwiecień 2020
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-kwiecie-2020-30

**Źródło:** Matura próbna kwiecień 2020
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Ramiona trapezu równoramiennego \(ABCD\) przedłużono i przecięły się w punkcie \(E\) (patrz rysunek). Wiadomo, że \(|CD|=4, |DE|=6\) oraz \(|AB|=|CE|\). Oblicz pole trapezu \(ABCD\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(10\sqrt{2}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Wyznaczenie \(|AB|\) i \(|CE|\).

Trapez jest równoramienny, więc po przedłużeniu ramion do punktu \(E\) powstaje trójkąt równoramienny \(CDE\) z podstawą \(CD=4\). Skoro \(|DE|=6\), to z symetrii \(|CE|=|DE|=6\).

Z warunku \(|AB|=|CE|=6\).

Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta \(CDE\).

Trójkąt \(CDE\) jest równoramienny z ramionami \(CE=DE=6\) i podstawą \(CD=4\). Wysokość opuszczona na podstawę \(CD\) dzieli ją na pół:

$$h_E=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$$

Krok 3. Obliczenie pola metodą różnicy trójkątów.

Trójkąty \(CDE\) i \(ABE\) są podobne w skali \(\frac{CD}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\).

Wysokość trójkąta \(ABE\): \(h_{ABE}=4\sqrt{2}\cdot\frac{3}{2}=6\sqrt{2}\)

$$P_{CDE}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$$

$$P_{ABE}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot6\sqrt{2}=18\sqrt{2}$$

$$P_{ABCD}=P_{ABE}-P_{CDE}=18\sqrt{2}-8\sqrt{2}=10\sqrt{2}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-kwiecien-2020