---
route: /task/matura-pr-bna-kwiecie-2020-28
title: Zadanie matura-pr-bna-kwiecie-2020-28
source: Matura próbna kwiecień 2020
category: Stereometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-kwiecie-2020-28

**Źródło:** Matura próbna kwiecień 2020
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest stożek, którego powierzchnia boczna jest \(2\) razy większa od pola jego podstawy. Kąt rozwarcia tego stożka oznaczmy literką \(\alpha \). Wykaż, że suma miejsc zerowych funkcji \(f(x)=(x - \operatorname{tg}^2 \alpha)(x-2) \) jest liczbą pierwszą.

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Wyznaczenie kąta \(\alpha\).

Powierzchnia boczna stożka: \(P_b=\pi r l\). Pole podstawy: \(P_p=\pi r^2\).

Z warunku zadania: \(P_b=2P_p\):

$$\pi r l=2\pi r^2 \quad\Rightarrow\quad l=2r$$

Kąt rozwarcia stożka (oznaczony \(\alpha\)) spełnia:

$$\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{l}=\frac{r}{2r}=\frac{1}{2}$$

Zatem \(\frac{\alpha}{2}=60°\), czyli \(\alpha=120°\).

Krok 2. Obliczenie sumy miejsc zerowych.

Miejsca zerowe funkcji \(f(x)=(x-\cos\alpha)(x-\sin\alpha)\) to \(x_1=\cos 120°=-\frac{1}{2}\) i \(x_2=\sin 120°=\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Suma miejsc zerowych:

$$x_1+x_2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-kwiecien-2020