---
route: /task/matura-pr-bna-kwiecie-2020-27
title: Zadanie matura-pr-bna-kwiecie-2020-27
source: Matura próbna kwiecień 2020
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-kwiecie-2020-27

**Źródło:** Matura próbna kwiecień 2020
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha \) jest ostry i spełniona jest równość \(\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{\sqrt{3}}\). Udowodnij, że istnieje liczba całkowita \(k\), taka, że \(\frac{\sin^2 \alpha +\sin^2 (90^\circ +\alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha} = k\sqrt{3}+k\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(k=1\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Uproszczenie wyrażenia \(\sin^2\alpha+\sin^2(90°+\alpha)\).

Korzystamy ze wzoru redukcyjnego: \(\sin(90°+\alpha)=\cos\alpha\). Zatem:

$$\sin^2\alpha+\sin^2(90°+\alpha)=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha$$

Z jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

Krok 2. Wskazanie liczby całkowitej \(k\).

Skoro \(\sin^2\alpha+\sin^2(90°+\alpha)=1\), to dla \(k=1\) wyrażenie przyjmuje wartość całkowitą.

Liczba \(k=1\) jest liczbą całkowitą, co kończy dowodzenie.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-kwiecien-2020