---
route: /task/matura-pr-bna-kwiecie-2020-18
title: Zadanie matura-pr-bna-kwiecie-2020-18
source: Matura próbna kwiecień 2020
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-kwiecie-2020-18

**Źródło:** Matura próbna kwiecień 2020
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Okręgi o środkach \(S_1=(6,0)\) oraz \(S_2=(6,2)\) są styczne wewnętrznie. Promień okręgu o środku \(S_1\) jest równy \(\frac{3}{2\sin 30^\circ }\). Największa możliwa różnica pól tych okręgów jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( 4\pi \)
- **B.** \( 8\pi \)
- **C.** \( 16\pi \)
- **D.** \( 24\pi \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie promienia pierwszego okręgu.

$$R_1=\frac{3}{2\sin 30°}=\frac{3}{2\cdot\frac{1}{2}}=\frac{3}{1}=3$$

Krok 2. Obliczenie odległości między środkami.

$$|S_1S_2|=\sqrt{(6-6)^2+(0-2)^2}=\sqrt{4}=2$$

Krok 3. Wyznaczenie promienia drugiego okręgu.

Dla okręgów stycznych wewnętrznie: \(|S_1S_2|=|R_1-R_2|\), zatem:

$$2=|3-R_2|$$

$$R_2=1 \quad\lor\quad R_2=5$$

Krok 4. Obliczenie największej różnicy pól.

Dla \(R_2=1\): \(|\pi R_1^2-\pi R_2^2|=\pi|9-1|=8\pi\)

Dla \(R_2=5\): \(|\pi R_2^2-\pi R_1^2|=\pi|25-9|=16\pi\)

Największa możliwa różnica pól wynosi \(16\pi\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-kwiecien-2020