---
route: /task/matura-pr-bna-kwiecie-2015-27
title: Zadanie matura-pr-bna-kwiecie-2015-27
source: Matura próbna kwiecień 2015
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-kwiecie-2015-27

**Źródło:** Matura próbna kwiecień 2015
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wyznacz wszystkie parametry \(m\) dla których proste \(y=(m^2+1)x-3\) oraz \(y=-\frac{1}{3}x+2m\) są prostopadłe.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(m=\sqrt{2}\) lub \(m=-\sqrt{2}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi \(-1\).

**Krok 1: Wyznaczenie współczynników kierunkowych**

Dla prostej \(y = (m^2+1)x - 3\):
$$a_1 = m^2 + 1$$

Dla prostej \(y = -\frac{1}{3}x + 2m\):
$$a_2 = -\frac{1}{3}$$

**Krok 2: Warunek prostopadłości**

Proste są prostopadłe, gdy:
$$a_1 \cdot a_2 = -1$$

Podstawiamy:
$$(m^2 + 1) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -1$$

**Krok 3: Rozwiązanie równania**

$$-\frac{m^2 + 1}{3} = -1$$

Mnożymy obie strony przez \(-3\):
$$m^2 + 1 = 3$$

$$m^2 = 2$$

$$m = \sqrt{2} \quad \text{lub} \quad m = -\sqrt{2}$$

**Krok 4: Sprawdzenie**

Dla \(m = \sqrt{2}\): \(a_1 = 2 + 1 = 3\), więc \(3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -1\) ✓

Dla \(m = -\sqrt{2}\): \(a_1 = 2 + 1 = 3\), więc \(3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -1\) ✓

**Odpowiedź:** \(m = \sqrt{2}\) lub \(m = -\sqrt{2}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-kwiecien-2015