---
route: /task/matura-pr-bna-kwiecie-2015-22
title: Zadanie matura-pr-bna-kwiecie-2015-22
source: Matura próbna kwiecień 2015
category: Stereometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-kwiecie-2015-22

**Źródło:** Matura próbna kwiecień 2015
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W kulę o promieniu \(5\) wpisano stożek o kącie rozwarcia \(90^\circ \). Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(P=25\pi (1+\sqrt{2})\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-kwiecie-2015-22.png]

## Ustalenie układu współrzędnych i konfiguracji

Umieszczamy środek kuli w początku układu współrzędnych. Kula ma promień \(R = 5\).

Stożek wpisany w kulę ma wierzchołek i brzeg podstawy na powierzchni kuli. Kąt rozwarcia stożka to \(90°\), czyli kąt między tworzącymi wychodzącymi z wierzchołka wynosi \(90°\).

## Analiza kąta rozwarcia

Kąt rozwarcia \(90°\) oznacza, że kąt między osią stożka a tworzącą wynosi:
$$\alpha = \frac{90°}{2} = 45°$$

## Wyznaczenie wymiarów stożka

Umieśćmy wierzchołek stożka w punkcie \((0, 0, h)\) na kuli, gdzie \(h > 0\). Podstawa stożka leży w płaszczyźnie \(z = -v\) dla pewnego \(v > 0\).

Ponieważ wierzchołek leży na kuli:
$$h^2 = 25 \implies h = 5$$

Wysokość stożka: \(H = h + v = 5 + v\)

Promień podstawy stożka: \(r\) (okrąg w płaszczyźnie \(z = -v\))

Z warunku, że brzeg podstawy leży na kuli:
$$r^2 + v^2 = 25$$

Z zależności geometrycznej dla kąta \(\alpha = 45°\):
$$\tan(45°) = \frac{r}{H} = \frac{r}{5+v}$$

Ponieważ \(\tan(45°) = 1\):
$$r = 5 + v$$

## Rozwiązanie układu równań

Mamy układ:
$$\begin{cases}
r^2 + v^2 = 25 \\
r = 5 + v
\end{cases}$$

Podstawiając drugie równanie do pierwszego:
$$(5+v)^2 + v^2 = 25$$
$$25 + 10v + v^2 + v^2 = 25$$
$$2v^2 + 10v = 0$$
$$2v(v + 5) = 0$$

Stąd \(v = 0\) lub \(v = -5\). Ponieważ \(v > 0\) dla sensownej konfiguracji, przyjmujemy \(v = 0\) (stożek "płaski") nie jest możliwe.

Poprawna interpretacja: \(v = 5\), wtedy:
$$r = 5 + 5 = 10$$ — niemożliwe, bo \(r^2 + v^2 = 100 + 25 = 125 \neq 25\)

## Korekta podejścia

Rozważmy \(r = |5 + v|\). Dla \(v = -5\): nie ma sensu fizycznego.

Prawidłowo: z \(2v^2 + 10v = 0\) mamy \(v = 0\) (zdegenerowany) lub inaczej...

Sprawdźmy: jeśli \(H = r\) (z \(\tan 45° = 1\)):
$$H = r$$
$$r^2 + (5-H)^2 = 25$$
$$H^2 + 25 - 10H + H^2 = 25$$
$$2H^2 = 10H$$
$$H = 5$$

Zatem \(r = 5\), \(H = 5\).

## Obliczenie tworzącej

$$l = \sqrt{r^2 + H^2} = \sqrt{25 + 25} = 5\sqrt{2}$$

## Pole powierzchni całkowitej

$$P = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r + l)$$
$$P = \pi \cdot 5(5 + 5\sqrt{2}) = 5\pi(5 + 5\sqrt{2})$$
$$P = 25\pi(1 + \sqrt{2})$$

**Odpowiedź:** \(P = 25\pi(1 + \sqrt{2})\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-kwiecien-2015