---
route: /task/matura-pr-bna-kwiecie-2015-21
title: Zadanie matura-pr-bna-kwiecie-2015-21
source: Matura próbna kwiecień 2015
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-kwiecie-2015-21

**Źródło:** Matura próbna kwiecień 2015
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny oraz \(a_1=2\), \(a_2=6\). Liczby \(a_3, x, \frac{x}{2}\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz \(x\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(x=12\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Wyznacza się iloraz ciągu geometrycznego.

Dla ciągu geometrycznego \((a_n)\) mamy \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\), gdzie \(q\) to iloraz.

Z danych \(a_1 = 2\) i \(a_2 = 6\):

$$a_2 = a_1 \cdot q$$

$$6 = 2 \cdot q$$

$$q = 3$$

Oblicza się \(a_3\).

$$a_3 = a_1 \cdot q^2 = 2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$$

Wykorzystuje się warunek ciągu arytmetycznego.

Liczby \(a_3, x, \frac{x}{2}\) tworzą ciąg arytmetyczny, więc różnica między kolejnymi wyrazami musi być stała:

$$x - a_3 = \frac{x}{2} - x$$

Podstawia się \(a_3 = 18\):

$$x - 18 = \frac{x}{2} - x$$

$$x - 18 = \frac{x}{2} - \frac{2x}{2}$$

$$x - 18 = -\frac{x}{2}$$

Mnoży się obie strony przez 2:

$$2x - 36 = -x$$

$$2x + x = 36$$

$$3x = 36$$

$$x = 12$$

Sprawdza się poprawność.

Ciąg: \(18, 12, 6\)

Różnice: \(12 - 18 = -6\) oraz \(6 - 12 = -6\) ✓

Różnice są równe, więc ciąg jest arytmetyczny.

**Odpowiedź: \(x = 12\)**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-kwiecien-2015