---
route: /task/matura-pr-bna-kwiecie-2015-19
title: Zadanie matura-pr-bna-kwiecie-2015-19
source: Matura próbna kwiecień 2015
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-kwiecie-2015-19

**Źródło:** Matura próbna kwiecień 2015
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dane są punkty \(A=(1,2)\) oraz \(B=(3,1)\). Punkt \(M=(p,q)\) jest środkiem odcinka \(AB\). Liczby \(p, 2q, x\) tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny. Wówczas:

## Odpowiedzi

- **A.** \( x=1 \)
- **B.** \( x=2 \)
- **C.** \( x=3 \)
- **D.** \( x=4 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Wyznacza się współrzędne środka odcinka AB, a następnie wykorzystuje własność ciągu arytmetycznego.

## Krok 1: Wyznaczenie współrzędnych punktu M

Środek odcinka AB ma współrzędne:
$$M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$$

Podstawia się współrzędne punktów A i B:
$$M = \left(\frac{1 + 3}{2}, \frac{2 + 1}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{3}{2}\right) = \left(2, \frac{3}{2}\right)$$

Zatem:
$$p = 2, \quad q = \frac{3}{2}$$

## Krok 2: Obliczenie wartości 2q

$$2q = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$$

## Krok 3: Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego

Liczby \(p, 2q, x\) tworzą ciąg arytmetyczny, czyli:
$$2, 3, x$$

W ciągu arytmetycznym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała:
$$2q - p = x - 2q$$

Podstawia się wartości:
$$3 - 2 = x - 3$$
$$1 = x - 3$$
$$x = 4$$

## Weryfikacja

Sprawdza się, czy liczby \(2, 3, 4\) tworzą ciąg arytmetyczny:
- różnica między drugim a pierwszym wyrazem: \(3 - 2 = 1\)
- różnica między trzecim a drugim wyrazem: \(4 - 3 = 1\)

Różnice są równe, więc ciąg jest arytmetyczny ✓

**Odpowiedź: D**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-kwiecien-2015