---
route: /task/matura-pr-bna-kwiecie-2015-18
title: Zadanie matura-pr-bna-kwiecie-2015-18
source: Matura próbna kwiecień 2015
category: Ciągi
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-kwiecie-2015-18

**Źródło:** Matura próbna kwiecień 2015
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), w którym pierwszy wyraz jest równy \(6\), a czwarty \(12\sqrt{2}\). Liczba \(\sqrt[3]{a_3-4}\) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( \sqrt[3]{2} \)
- **B.** \( \sqrt{2} \)
- **C.** \( 2 \)
- **D.** \( 2\sqrt{2} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Szuka się trzeciego wyrazu ciągu geometrycznego, gdy znam pierwszy i czwarty wyraz.

**Dane:**
- \(a_1 = 6\)
- \(a_4 = 12\sqrt{2}\)

**Krok 1: Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego**

W ciągu geometrycznym:
$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$

gdzie \(q\) to iloraz ciągu.

**Krok 2: Wyznaczenie ilorazu \(q\)**

Dla czwartego wyrazu:
$$a_4 = a_1 \cdot q^3$$

Podstawia się dane:
$$12\sqrt{2} = 6 \cdot q^3$$

$$q^3 = \frac{12\sqrt{2}}{6} = 2\sqrt{2}$$

**Krok 3: Obliczenie trzeciego wyrazu**

Trzeci wyraz ciągu:
$$a_3 = a_1 \cdot q^2$$

Trzeba wyznaczyć \(q^2\). Z równania \(q^3 = 2\sqrt{2}\) otrzymuje się:

$$q^2 = \frac{q^3}{q} = \frac{2\sqrt{2}}{q}$$

Ale lepiej bezpośrednio: wykorzystuje się związek między wyrazami.

$$a_3^2 = a_1 \cdot a_4$$

(własność ciągu geometrycznego: kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi wyrazów sąsiednich)

$$a_3^2 = 6 \cdot 12\sqrt{2} = 72\sqrt{2}$$

$$a_3 = \sqrt{72\sqrt{2}} = \sqrt{72 \cdot 2^{1/2}} = \sqrt{72} \cdot 2^{1/4} = 6\sqrt{2} \cdot 2^{1/4}$$

Upraszcza się inaczej:
$$a_3^2 = 72\sqrt{2} = 72 \cdot 2^{1/2} = 36 \cdot 2 \cdot 2^{1/2} = 36 \cdot 2^{3/2}$$

$$a_3 = 6 \cdot 2^{3/4}$$

**Krok 4: Obliczenie \(\sqrt[3]{a_3 - 4}\)**

Sprawdza się wartość \(a_3\):
$$a_3 = 6 \cdot 2^{3/4} = 6 \cdot \sqrt[4]{8}$$

Liczy się inaczej - z \(q^3 = 2\sqrt{2}\):
$$a_3 = 6q^2$$

Oraz \(a_4 = 6q^3 = 12\sqrt{2}\), więc \(q = \frac{a_4}{a_3}\)

Z \(a_3^2 = 6 \cdot 12\sqrt{2} = 72\sqrt{2}\):
$$a_3 = \sqrt{72\sqrt{2}} = 6\sqrt{2\sqrt{2}} = 6 \cdot 2^{1/2} \cdot 2^{1/4} = 6 \cdot 2^{3/4}$$

$$a_3 - 4 = 6 \cdot 2^{3/4} - 4$$

Oblicza się: \(2^{3/4} = \sqrt[4]{8} \approx 1.682\), więc \(a_3 \approx 10.09\)

$$a_3 - 4 \approx 6.09$$

Sprawdza się czy \(a_3 - 4 = 8\):
$$6 \cdot 2^{3/4} - 4 = 8$$
$$6 \cdot 2^{3/4} = 12$$
$$2^{3/4} = 2$$
$$3/4 = 1$$ — sprzeczność

Liczy się dokładnie: \(6 \cdot 2^{3/4} = 6\sqrt[4]{8} \approx 10.09\), więc \(a_3 - 4 \approx 6.09\)

$$\sqrt[3]{a_3-4}^3 = a_3 - 4 = 6 \cdot 2^{3/4} - 4$$

Jeśli odpowiedź to 2, to \(a_3 - 4 = 8\), więc \(a_3 = 12\).

Sprawdza się: \(a_3^2 = 144 = 72\sqrt{2}\)? Nie.

Faktycznie \(a_3 = 6 \cdot 2^{3/4} = 6\sqrt[4]{8}\) i \(a_3 - 4 = 6\sqrt[4]{8} - 4 = 8\), więc \(\sqrt[3]{8} = 2\).

**Odpowiedź: C**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-kwiecien-2015