---
route: /task/matura-pr-bna-kwiecie-2015-17
title: Zadanie matura-pr-bna-kwiecie-2015-17
source: Matura próbna kwiecień 2015
category: Funkcje
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-kwiecie-2015-17

**Źródło:** Matura próbna kwiecień 2015
**Kategoria:** Funkcje
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Najmniejsza wartość funkcji \(f(x)=x^2-3x+1\) w przedziale \(\langle -1,3\rangle \) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( 5 \)
- **B.** \( \frac{3}{2} \)
- **C.** \( 1 \)
- **D.** \( -\frac{5}{4} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Szuka się najmniejszej wartości funkcji \(f(x) = x^2 - 3x + 1\) w przedziale \(\langle -1, 3 \rangle\).

**Krok 1: Identyfikacja funkcji**

Jest to funkcja kwadratowa o współczynniku \(a = 1 > 0\), więc parabola jest skierowana ramionami do góry. Funkcja ma minimum globalne w swoim wierzchołku.

**Krok 2: Wyznaczenie współrzędnej x wierzchołka**

Dla funkcji \(f(x) = ax^2 + bx + c\) współrzędna x wierzchołka to:

$$x_w = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}$$

**Krok 3: Sprawdzenie czy wierzchołek należy do przedziału**

Ponieważ \(\frac{3}{2} = 1{,}5 \in \langle -1, 3 \rangle\), wierzchołek leży wewnątrz przedziału.

**Krok 4: Obliczenie wartości funkcji w wierzchołku**

$$f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3 \cdot \frac{3}{2} + 1$$

$$f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 1 = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} + \frac{4}{4} = \frac{9 - 18 + 4}{4} = -\frac{5}{4}$$

**Krok 5: Sprawdzenie wartości na końcach przedziału (dla pewności)**

$$f(-1) = (-1)^2 - 3(-1) + 1 = 1 + 3 + 1 = 5$$

$$f(3) = 3^2 - 3 \cdot 3 + 1 = 9 - 9 + 1 = 1$$

**Wniosek:**

Wartości funkcji: \(f(-1) = 5\), \(f\left(\frac{3}{2}\right) = -\frac{5}{4}\), \(f(3) = 1\)

Najmniejsza wartość to \(-\frac{5}{4}\) osiągnięta w wierzchołku paraboli.

**Odpowiedź: D**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcje
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-kwiecien-2015