---
route: /task/matura-pr-bna-kwiecie-2015-15
title: Zadanie matura-pr-bna-kwiecie-2015-15
source: Matura próbna kwiecień 2015
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-kwiecie-2015-15

**Źródło:** Matura próbna kwiecień 2015
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

W układzie współrzędnych zaznaczono kąt \(\alpha \). Jedno z ramion kąta \(\alpha \) przechodzi przez punkt \(P=(-4,3)\). Wtedy:

## Odpowiedzi

- **A.** \( \cos \alpha = \frac{4}{5} \)
- **B.** \( \cos \alpha = -\frac{4}{5} \)
- **C.** \( \cos \alpha = -\frac{4}{3} \)
- **D.** \( \cos \alpha = -\frac{3}{4} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Kąt \(\alpha\) ma wierzchołek w początku układu współrzędnych, a jedno z jego ramion przechodzi przez punkt \(P=(-4,3)\).

**Krok 1: Obliczenie odległości punktu P od początku układu**

Odległość punktu \(P\) od początku układu współrzędnych wynosi:

$$r = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

**Krok 2: Wyznaczenie cosinusa kąta**

Dla kąta w układzie współrzędnych, którego ramię przechodzi przez punkt \(P=(x,y)\), cosinus tego kąta wyznaczamy ze wzoru:

$$\cos \alpha = \frac{x}{r}$$

gdzie \(r\) jest odległością punktu od początku układu.

**Krok 3: Podstawienie wartości**

Podstawiając \(x = -4\) i \(r = 5\):

$$\cos \alpha = \frac{-4}{5} = -\frac{4}{5}$$

**Krok 4: Sprawdzenie pozostałych opcji**

- Opcja A: \(\frac{4}{5}\) – nie zgadza się ze znakiem (punkt ma ujemną współrzędną x)
- Opcja C: \(-\frac{4}{3}\) – wartość cosinusa musi być z przedziału \([-1, 1]\), więc to niemożliwe
- Opcja D: \(-\frac{3}{4}\) – niepoprawna wartość liczbowa

**Odpowiedź: B**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-kwiecien-2015