---
route: /task/matura-pr-bna-kwiecie-2015-11
title: Zadanie matura-pr-bna-kwiecie-2015-11
source: Matura próbna kwiecień 2015
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-kwiecie-2015-11

**Źródło:** Matura próbna kwiecień 2015
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego są równe \(4\) i \(6\). Środkowa tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość

## Odpowiedzi

- **A.** \( \sqrt{13} \)
- **B.** \( \sqrt{52} \)
- **C.** \( 5 \)
- **D.** \( 2 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-kwiecie-2015-11.png]

Dane są długości przyprostokątnych: \(a = 4\) i \(b = 6\).

**Krok 2: Obliczenie długości przeciwprostokątnej**

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$$

**Krok 3: Wykorzystanie własności środkowej z wierzchołka kąta prostego**

Istnieje ważna własność trójkąta prostokątnego: **środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej ma długość równą połowie długości przeciwprostokątnej**.

Oznaczmy przez \(m\) długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego. Wtedy:
$$m = \frac{c}{2}$$

**Krok 4: Obliczenie długości środkowej**

$$m = \frac{\sqrt{52}}{2} = \frac{\sqrt{4 \cdot 13}}{2} = \frac{2\sqrt{13}}{2} = \sqrt{13}$$

**Alternatywnie (układ współrzędnych):**

Umieśćmy wierzchołek kąta prostego w punkcie \(C = (0, 0)\), a pozostałe wierzchołki w punktach \(A = (4, 0)\) i \(B = (0, 6)\).

Środek przeciwprostokątnej \(AB\):
$$S = \left(\frac{4+0}{2}, \frac{0+6}{2}\right) = (2, 3)$$

Długość środkowej \(CS\):
$$m = \sqrt{(2-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$

**Odpowiedź: A**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-kwiecien-2015