---
route: /task/matura-pr-bna-grudzie-2014-33
title: Zadanie matura-pr-bna-grudzie-2014-33
source: Matura próbna grudzień 2014
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-grudzie-2014-33

**Źródło:** Matura próbna grudzień 2014
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Tworząca stożka ma długość \( 17 \), a wysokość stożka jest krótsza od średnicy jego podstawy o \( 22 \). Oblicz pole powierzchni całkowitej i&nbspobjętość tego stożka.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(P=480\pi \), \(V=600\pi \)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Narysujmy sobie przekrój stożka i zaznaczmy na nim odpowiednie miary i oznaczenia:

Warto sobie od razu zapisać, że zgodnie z treścią zadania wysokość stożka jest krótsza o \(22\) od średnicy podstawy (średnicy, nie promienia!). Zatem:

$$H=2r-22$$

Krok 2. Wyznaczenie długości promienia podstawy.

Możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa, podstawiając za wysokość \(H=2r-22\). Otrzymamy wtedy:

$$r^2+H^2=17^2 \\

r^2+(2r-22)^2=289 \\

r^2+4r^2-88r+484=289 \\

5r^2-88r+195=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

Współczynniki: \(a=5,\;b=-88,\;c=195\)

$$Δ=b^2-4ac=(-88)^2-4\cdot5\cdot195=7744-3900=3844 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{3844}=62$$

$$r_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-88)-62}{2\cdot5}=\frac{88-62}{10}=\frac{26}{10}=2,6 \\

r_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-88)+62}{2\cdot5}=\frac{88+62}{10}=\frac{150}{10}=15$$

Obydwa rozwiązania są póki co dobre, żadnego z nich nie możemy odrzucić (odrzucilibyśmy np. wtedy, gdyby któraś z wartości wyszła ujemna).

Krok 4. Obliczenie wysokości stożka.

Jeśli \(r_{1}=2,6\), to \(H_{1}=2\cdot2,6-22=5,2-22=-16,8\)

Jeśli \(r_{2}=15\), to \(H_{2}=2\cdot15-22=30-22=8\)

W przypadku pierwszej pary wyszła nam ujemna wysokość, więc odrzucamy całe to rozwiązanie. To oznacza, że jest tylko jedna para liczb, która spełnia warunki naszego zadania: \(r=15\) oraz \(H=8\).

Krok 5. Obliczenie objętości stożka.

Znając promień podstawy i wysokość stożka możemy już bez problemu obliczyć jego objętość:

$$V=\frac{1}{3}πr^2 H \\

V=\frac{1}{3}\cdot15^2\cdot8π \\

V=\frac{1}{3}\cdot225\cdot8π \\

V=\frac{1}{3}\cdot1800π \\

V=600π$$

Krok 6. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.

Zgodnie z treścią zadania musimy jeszcze obliczyć pole powierzchni całkowitej.

$$P_{c}=πr\cdot(r+l) \\

P_{c}=π\cdot15\cdot(15+17) \\

P_{c}=π\cdot15\cdot32 \\

P_{c}=480π$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-158.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-grudzien-2014