---
route: /task/matura-pr-bna-grudzie-2014-28
title: Zadanie matura-pr-bna-grudzie-2014-28
source: Matura próbna grudzień 2014
category: Liczby rzeczywiste
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-grudzie-2014-28

**Źródło:** Matura próbna grudzień 2014
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez \( 3 \), to jej kwadrat przy dzieleniu przez \( 3 \) daje resztę \( 1 \).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.

\(n\) - liczba naturalna

\(3n\) - liczba naturalna podzielna przez \(3\)

\(3n+1\) - liczba naturalna niepodzielna przez \(3\) (daje resztę równą \(1\))

\(3n+2\) - liczba naturalna niepodzielna przez \(3\) (daje resztę równą \(2\))

Musimy udowodnić, że liczby niepodzielne przez \(3\) (czyli \(3n+1\) oraz \(3n+2\)) podniesione do kwadratu dają resztę z dzielenia przez \(3\) równą \(1\).

Krok 2. Podniesienie do kwadratu liczb niepodzielnych przez \(3\).

Musimy zweryfikować obydwa warianty.

Podniesienie do kwadratu wyrażenia \(3n+1\):

$$(3n+1)^2=9n^2+6n+1= \\

=3(3n^2+2n)+1$$

Podniesienie do kwadratu wyrażenia \(3n+2\):

$$(3n+2)^2=9n^2+12n+4= \\

=9n^2+12n+3+1=3(3n^2+4n+1)+1$$

W obydwu przykładach aby udowodnić, że liczba po podzieleniu przez \(3\) daje resztę równą \(1\) wyciągnęliśmy przed nawias trójkę. Skoro wolnym wyrazem który został nam na końcu tego wyniku jest jedynka, to dowód możemy uznać za zakończony, bo to będzie właśnie nasza reszta z dzielenia.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-grudzien-2014