---
route: /task/matura-pr-bna-grudzie-2014-27
title: Zadanie matura-pr-bna-grudzie-2014-27
source: Matura próbna grudzień 2014
category: Potęgi i pierwiastki
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-grudzie-2014-27

**Źródło:** Matura próbna grudzień 2014
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Czas połowicznego rozpadu pierwiastka to okres, jaki jest potrzebny, by ze \( 100\% \) pierwiastka pozostało \( 50\% \) tego pierwiastka. Oznacza to, że ilość pierwiastka pozostała z każdego grama pierwiastka po \( x \) okresach rozpadu połowicznego wyraża się wzorem \( y={\left ( \frac{1}{2} \right )}^{x} \). W przypadku izotopu jodu \( ^{131}I \) czas połowicznego rozpadu jest równy \( 8 \) dni. Wyznacz najmniejszą liczbę dni, po upływie których pozostanie z \( 1 \) g \( ^{131}I \) nie więcej niż \( 0{,}125 \) g tego pierwiastka.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(24\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

I sposób - krok po kroku:

Skoro co \(8\) dni mamy o połowę mniej tego pierwiastka, to:

\(1g\) - tyle jest na początku

\(0,5\cdot1g=0,5g\) - tyle jest po \(8\) dniach

\(0,5\cdot0,5g=0,25g\) - tyle jest po \(16\) dniach

\(0,5\cdot0,25g=0,125g\) - tyle jest po \(24\) dniach

To oznacza, że po 24 dniach tego pierwiastka zostanie nie więcej niż \(0,125g\).

II sposób - za pomocą nierówności wykładniczej:

Przyjmijmy, że:

\(x\) - liczba okresów (każdy po \(8\) dni)

\(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) - tyle z pierwiastka zostanie po \(x\) okresach

Nas interesuje, kiedy z pierwiastka zostanie nie więcej niż \(0,125g\) (czyli \(\frac{1}{8}g\)), zatem musimy ułożyć i rozwiązać następującą nierówność:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^x\le0,125 \\

\left(\frac{1}{2}\right)^x\le\frac{1}{8} \\

\left(\frac{1}{2}\right)^x\le\left(\frac{1}{2}\right)^3$$

Opuszczamy podstawę potęgi, ale przy okazji musimy zmienić jej znak (bo podstawa jest ułamkiem zwykłym). Otrzymamy zatem: \(x\ge3\).

Taki wynik oznacza, że potrzeba minimum trzech okresów, aby zostało nie więcej niż \(0,125g\) pierwiastka. Skoro każdy okres to \(8\) dni, to wyszło nam, że musi upłynąć przynajmniej \(3\cdot8=24\) dni.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-grudzien-2014