---
route: /task/matura-pr-bna-grudzie-2014-26
title: Zadanie matura-pr-bna-grudzie-2014-26
source: Matura próbna grudzień 2014
category: Równania i nierówności
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-grudzie-2014-26

**Źródło:** Matura próbna grudzień 2014
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Uzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania \(\frac{2x+4}{x-2}=2x+1\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie założeń.

Zanim przystąpimy do obliczeń musimy sobie zapisać założenia do tego równania, które wynikają z tego, że mianownik ułamka nie może być równy zero. Zatem:

$$x-2\neq0 \\

x\neq2$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.

Możemy już przystąpić do obliczeń. Najprościej będzie zacząć obliczenia od wymnożenia obu stron przez wartość \((x-2)\), pozbywając się w ten sposób ułamka:

$$\frac{2x+4}{x-2}=2x+1 \quad\bigg/\cdot (x-2) \\

2x+4=(2x+1)\cdot(x-2) \\

2x+4=2x^2-4x+x-2 \\

2x+4=2x^2-3x-2 \\

-2x^2+5x+6=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

To równanie możemy rozwiązać za pomocą metody delty:

Współczynniki: \(a=-2,\;b=5,\;c=6\)

$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot(-2)\cdot6=25-(-48)=25+48=73 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{73}$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-\sqrt{73}}{2\cdot(-2)}=\frac{-5-\sqrt{73}}{-4}=\frac{5+\sqrt{73}}{4} \\

x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+\sqrt{73}}{2\cdot(-2)}=\frac{-5+\sqrt{73}}{-4}=\frac{5-\sqrt{73}}{4}$$

Krok 4. Interpretacja otrzymanych wyników.

Obydwa rozwiązania tego równania są jak najbardziej poprawne (nie wykluczają się z naszymi założeniami z pierwszego kroku). Naszym zadaniem jest jednak udowodnić, że to równanie nie ma żadnych CAŁKOWITYCH rozwiązań i rzeczywiście tak jest, bo obydwie otrzymane liczby nie są całkowite. To oznacza, że dowodzenie możemy uznać za zakończone.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-grudzien-2014