---
route: /task/matura-pr-bna-grudzie-2014-14
title: Zadanie matura-pr-bna-grudzie-2014-14
source: Matura próbna grudzień 2014
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-grudzie-2014-14

**Źródło:** Matura próbna grudzień 2014
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Punkty \(A=(-6-2\sqrt{2},\ 4-2\sqrt{2})\), \(B=(2+4\sqrt{2},\ -6\sqrt{2})\), \(C=(2+6\sqrt{2},\ 6-2\sqrt{2})\) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku \( ABCD \). Przekątne tego równoległoboku przecinają się w punkcie

## Odpowiedzi

- **A.** \(S=(-1+4\sqrt{2},\ 5-5\sqrt{2}) \)
- **B.** \(S=(-2+\sqrt{2},\ 2-4\sqrt{2}) \)
- **C.** \(S=(2+5\sqrt{2},\ 3-4\sqrt{2}) \)
- **D.** \(S=(-2+2\sqrt{2},\ 5-2\sqrt{2}) \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Spróbujmy mniej więcej zaznaczyć w układzie współrzędnych punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\):

Nie znamy współrzędnych punktu \(D\) (na rysunku jest on tylko by zobrazować sobie jak wygląda ten równoległobok), ale nie jest nam on na szczęście potrzebny. Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości, zatem wystarczy wyznaczyć środek odcinka \(AC\) (a mamy na to wzór w tablicach).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu przecięcia się przekątnych.

Zgodnie ze wzorami współrzędne \(S=(x_{S};y_{S})\) środka odcinka \(AC\) możemy obliczyć w następujący sposób:

$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \\

x_{S}=\frac{-6-2\sqrt{2}+2+6\sqrt{2}}{2} \\

x_{S}=\frac{-4+4\sqrt{2}}{2} \\

x_{S}=-2+2\sqrt{2}$$

Tak naprawdę moglibyśmy w tym momencie skończyć rozwiązywanie zadania, bo tylko w czwartej odpowiedzi znajduje się obliczona przed chwilą współrzędna \(x_{S}\). Dla sprawdzenia i wprawy obliczmy sobie jeszcze współrzędną \(y_{S}\):

$$y_{S}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \\

y_{S}=\frac{4-2\sqrt{2}+6-2\sqrt{2}}{2} \\

y_{S}=\frac{10-4\sqrt{2}}{2} \\

y_{S}=5-2\sqrt{2}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-153.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-grudzien-2014