---
route: /task/matura-pr-bna-grudzie-2014-10
title: Zadanie matura-pr-bna-grudzie-2014-10
source: Matura próbna grudzień 2014
category: Funkcje
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-pr-bna-grudzie-2014-10

**Źródło:** Matura próbna grudzień 2014
**Kategoria:** Funkcje
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Funkcja \( f \) określona dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich, przyporządkowuje liczbie \( x \) ostatnią cyfrę jej kwadratu. Zbiór wartości funkcji \( f \) zawiera dokładnie

## Odpowiedzi

- **A.** \( 5 \) elementów
- **B.** \( 6 \) elementów
- **C.** \( 9 \) elementów
- **D.** \( 10 \) elementów

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Musimy odpowiedzieć tak naprawdę na pytanie - jakie są ostatnie cyfry liczb, które są wynikami podniesienia liczby do kwadratu. Przykładowo:

Liczby zakończone na \(2\):

$$2^2=\color{blue}{4} \\

72^2=518\color{blue}{4} \\

82^2=672\color{blue}{4} \\

92^2=846\color{blue}{4}$$

Liczby zakończone na \(3\):

$$3^2=\color{blue}{9} \\

73^2=532\color{blue}{9} \\

83^2=688\color{blue}{9} \\

93^2=864\color{blue}{9}$$

Liczby zakończone na \(9\):

$$9^2=8\color{blue}{1} \\

79^2=624\color{blue}{1} \\

89^2=792\color{blue}{1} \\

99^2=980\color{blue}{1}$$

Widzimy wyraźnie, że istnieje zbieżność, między ostatnią cyfrą liczby podniesioną do kwadratu, a kwadratem tej liczby. Gdybyśmy rozpatrzyli tak wszystkie możliwe przypadki (końcówki liczb od \(0\) do \(9\)) to zauważymy, że:

Ostatnia cyfra \(0\) - Kwadrat liczby kończy się na \(0\)

Ostatnia cyfra \(1\) - Kwadrat liczby kończy się na \(1\)

Ostatnia cyfra \(2\) - Kwadrat liczby kończy się na \(4\)

Ostatnia cyfra \(3\) - Kwadrat liczby kończy się na \(9\)

Ostatnia cyfra \(4\) - Kwadrat liczby kończy się na \(6\)

Ostatnia cyfra \(5\) - Kwadrat liczby kończy się na \(5\)

Ostatnia cyfra \(6\) - Kwadrat liczby kończy się na \(6\)

Ostatnia cyfra \(7\) - Kwadrat liczby kończy się na \(9\)

Ostatnia cyfra \(8\) - Kwadrat liczby kończy się na \(4\)

Ostatnia cyfra \(9\) - Kwadrat liczby kończy się na \(1\)

Z naszych rozważań wynika, że na końcach kwadratów znaleźć się może jedna z sześciu liczb: \(0, 1, 4, 5, 6, 9\). W związku z tym zbiór wartości funkcji \(f\) składa się z \(6\) elementów.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcje
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-grudzien-2014