---
route: /task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-29
title: Zadanie matura-pr-bna-cke-marzec-2026-29
source: Matura próbna CKE marzec 2026
category: Stereometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-cke-marzec-2026-29

**Źródło:** Matura próbna CKE marzec 2026
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość \(12\). Ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze \(30^\circ\). Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(V=96\sqrt{3}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń.

Skoro ostrosłup jest prawidłowy czworokątny, to w jego podstawie znajduje się po prostu kwadrat o boku \(12\), a spodek wysokości ostrosłupa leży w środku tego kwadratu.

Kąt o mierze \(30°\), pod którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy, leży w trójkącie prostokątnym o wierzchołkach: środek podstawy, środek krawędzi podstawy i wierzchołek ostrosłupa. Dolną przyprostokątną tego trójkąta jest odcinek łączący środek podstawy ze środkiem krawędzi podstawy, o długości \(6\), czyli równej połowie boku kwadratu; leży on przy kącie \(30°\). Drugą przyprostokątną jest wysokość ostrosłupa \(H\), leżąca naprzeciwko tego kąta, a przeciwprostokątną jest wysokość ściany bocznej.

Krok 2. Wyznaczenie wysokości ostrosłupa.

Opisany wyżej trójkąt prostokątny ma kąty \(30°, 60°, 90°\). Zgodnie z własnościami takiego trójkąta, krótsza przyprostokątna (w tym przypadku wysokość ostrosłupa) ma długość \(a\), z kolei dłuższa przyprostokątna (która ma u nas długość \(6\)) będzie bokiem który ma długość \(a\sqrt{3}\). Możemy więc zapisać, że:

$$a\sqrt{3}=6 \\

a=\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$$

Tym samym \(H=2\sqrt{3}\).

Krok 3. Obliczenie objętości ostrosłupa.

W podstawie mamy kwadrat o boku \(12\), z kolei wysokość naszej bryły to \(H=2\sqrt{3}\), zatem korzystając ze wzoru na objętość ostrosłupa, otrzymamy:

$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\

V=\frac{1}{3}\cdot12\cdot12\cdot2\sqrt{3} \\

V=\frac{288\sqrt{3}}{3} \\

V=96\sqrt{3}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-cke-marzec-2026