---
route: /task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-24
title: Zadanie matura-pr-bna-cke-marzec-2026-24
source: Matura próbna CKE marzec 2026
category: Planimetria
points: 3
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-cke-marzec-2026-24

**Źródło:** Matura próbna CKE marzec 2026
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trapez równoramienny \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\), w którym \(|AB|=2\cdot|CD|\). Przekątna \(AC\) tego trapezu jest zawarta w dwusiecznej kąta \(DAB\). Wykaż, że w tym trapezie miara kąta \(DAB\) jest równa \(60^\circ\).

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Wykorzystanie własności kątów w trapezie.

Z treści zadania wiemy, że przekątna \(AC\) to dwusieczna kąta \(DAB\). Oznaczmy połowę tego kąta jako \(\alpha\), wtedy \(\angle DAC=\angle CAB=\alpha\), a cały kąt \(\angle DAB=2\alpha\). Ponieważ podstawy trapezu \(AB\) i \(CD\) są równoległe, kąty naprzemianległe \(\angle DCA\) i \(\angle CAB\) mają równe miary, więc \(\angle DCA=\alpha\).

Krok 2. Dostrzeżenie trójkąta równoramiennego.

Rozpatrzmy trójkąt \(ACD\). Z naszych ustaleń wynika, że \(|\sphericalangle DAC|=\alpha\) oraz \(|\sphericalangle DCA|=\alpha\). Trójkąt ten jest więc równoramienny, zatem ramiona \(AD\) i \(CD\) są sobie równe.

Krok 3. Poprowadzenie wysokości i zastosowanie trygonometrii.

Niech długość krótszej podstawy wynosi \(|CD|=a\), wtedy ramię trapezu \(|AD|=a\) oraz dłuższa podstawa \(|AB|=2a\) (co wynika wprost z treści zadania). Prowadząc wysokości z punktów \(C\) i \(D\) na podstawę \(AB\), utworzył nam się na środku odcinek o długości \(a\). Ponieważ trapez jest równoramienny, pozostała część podstawy układa się na dwa równe odcinki przy kątach ostrych. Odcinek przy kącie \(DAB\) ma więc długość \(\frac{2a-a}{2}=\frac{a}{2}\).

Krok 4. Obliczenie miary kąta \(DAB\).

Powstał nam mały trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątną przy kącie \(DAB\) jest obliczony odcinek \(\frac{a}{2}\), a przeciwprostokątną jest ramię trapezu o długości \(a\). Skorzystajmy zatem z funkcji trygonometrycznych (a dokładniej to z cosinusa), aby obliczyć miarę tego kąta:

$$\cos\angle DAB=\frac{\frac{a}{2}}{a} \\

\cos\angle DAB=\frac{1}{2}$$

Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że cosinus przyjmuje wartość \(\frac{1}{2}\) dla kąta ostrego o mierze \(60°\), co należało udowodnić.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-cke-marzec-2026