---
route: /task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-20
title: Zadanie matura-pr-bna-cke-marzec-2026-20
source: Matura próbna CKE marzec 2026
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-cke-marzec-2026-20

**Źródło:** Matura próbna CKE marzec 2026
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Kąt o mierze \(\alpha\) jest rozwarty oraz \(\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{3\sin\alpha}{\operatorname{tg} \alpha}\). Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(-\sqrt{6}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Przekształcenie wyrażenia.

Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Podstawiamy to teraz do naszego wyrażenia:

$$\frac{3\sin\alpha}{\operatorname{tg}\alpha}=\frac{3\sin\alpha}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}=3\sin\alpha\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=3\cos\alpha$$

Zatem musimy obliczyć wartość \(3\cos\alpha\).

Krok 2. Obliczenie wartości \(\cos\alpha\).

Korzystając z jedynki trygonometrycznej \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\), możemy zapisać, że:

$$\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha \\

\cos^{2}\alpha=1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2} \\

\cos^{2}\alpha=1-\frac{1}{3} \\

\cos^{2}\alpha=\frac{2}{3} \\

\cos\alpha=\sqrt{\frac{2}{3}} \quad\lor\quad \cos\alpha=-\sqrt{\frac{2}{3}}$$

Z treści zadania wynika, że kąt \(\alpha\) jest rozwarty, zatem cosinus tego kąta jest ujemny. Dodatnie rozwiązanie zatem odrzucamy. Podstawiając teraz \(\cos\alpha=-\sqrt{\frac{2}{3}}\), otrzymamy:

$$\cos\alpha=-\sqrt{\frac{2}{3}}=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{3}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$$

Krok 3. Obliczenie wartości wyrażenia.

Ustaliliśmy już, że nasze wyrażenie jest równe \(3\cos\alpha\), zatem będzie ono równe:

$$3\cdot\left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)=-\sqrt{6}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-cke-marzec-2026