---
route: /task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-17
title: Zadanie matura-pr-bna-cke-marzec-2026-17
source: Matura próbna CKE marzec 2026
category: Ciągi
points: 3
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-cke-marzec-2026-17

**Źródło:** Matura próbna CKE marzec 2026
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \[ a_n=\frac{3n+9}{n+1} \] dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Wyznacz wszystkie wartości \(x\), dla których trzywyrazowy ciąg \((a_5,\;2x^2,\;3x^2+5)\) jest arytmetyczny. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(x=−3\) lub \(x=3\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{5}\).

Podstawiamy \(n=5\) do wzoru ciągu:

$$a_{5}=\frac{3\cdot5+9}{5+1} \\

a_{5}=\frac{15+9}{6} \\

a_{5}=\frac{24}{6} \\

a_{5}=4$$

Krok 2. Zapisanie warunku na ciąg arytmetyczny.

Trzywyrazowy ciąg \((4,\;2x^2,\;3x^2+5)\) jest arytmetyczny wtedy, gdy różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. To oznacza, że:

$$2x^2-4=3x^2+5-2x^2$$

Krok 3. Rozwiązanie równania.

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Zaczynając od porządkowania wyrazów, otrzymamy taką sytuację:

$$2x^2-4=3x^2+5-2x^2 \\

2x^2-4=x^{2}+5 \\

2x^2-x^{2}=5+4 \\

x^2=9 \\

x=3 \quad\lor\quad x=-3$$

Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.

Sprawdźmy oba rozwiązania, weryfikując czy otrzymamy ciąg arytmetyczny:

Dla \(x=3\):

Pierwszy wyraz: \(4\)

Drugi wyraz: \(2\cdot3^{2}=18\)

Trzeci wyraz: \(3\cdot3^{2}+5=32\)

Ciąg \((4,18,32)\) ma stałą różnicę \(r=14\), więc jest arytmetyczny.

Dla \(x=-3\):

Pierwszy wyraz: \(4\)

Drugi wyraz: \(2\cdot(-3)^{2}=18\)

Trzeci wyraz: \(3\cdot(-3)^{2}+5=32\)

Ciąg \((4,18,32)\) ma stałą różnicę \(r=14\), więc również jest arytmetyczny.

Ten ciąg jest zatem arytmetyczny dla \(x=3\) oraz \(x=-3\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-cke-marzec-2026