---
route: /task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-15
title: Zadanie matura-pr-bna-cke-marzec-2026-15
source: Matura próbna CKE marzec 2026
category: Funkcja kwadratowa
points: 3
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-cke-marzec-2026-15

**Źródło:** Matura próbna CKE marzec 2026
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-16x^2+40x+11\). W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresem funkcji \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(C\). Ta parabola przecina oś \(Ox\) w punktach \(A\) oraz \(B\). Oblicz pole trójkąta \(ABC\). Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(54\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Ustalenie, co trzeba obliczyć.

Punkty \(A\) i \(B\) leżą na osi \(Ox\), bo są punktami przecięcia paraboli z tą osią, więc podstawą trójkąta \(ABC\) jest odcinek \(AB\) leżący na osi \(Ox\). Wysokością trójkąta opuszczoną na tę podstawę jest odległość wierzchołka \(C\) paraboli od osi \(Ox\), czyli wartość bezwzględna drugiej współrzędnej wierzchołka.

Do obliczenia pola trójkąta \(ABC\) potrzebne są zatem dwie rzeczy: miejsca zerowe funkcji, bo z nich wynika długość podstawy, oraz druga współrzędna wierzchołka paraboli, która daje wysokość trójkąta.

Krok 2. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.

Aby wyznaczyć punkty przecięcia paraboli z osią \(Ox\), musimy sprawdzić kiedy \(-16x^2+40x+11\) przyjmuje wartość równą \(0\), czyli musimy po prostu rozwiązać równanie kwadratowe \(-16x^2+40x+11=0\). Jest to równanie zapisane w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:

Współczynniki: \(a=-16,\;b=40,\;c=11\)

$$\Delta=b^2-4ac=40^2-4\cdot(-16)\cdot11=1600-(-704)=2304 \\

\sqrt{\Delta}=\sqrt{2304}=48$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-40-48}{2\cdot(-16)}=\frac{-88}{-32}=\frac{11}{4} \\

x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-40+48}{2\cdot(-16)}=\frac{8}{-32}=-\frac{1}{4}$$

Zatem punkty przecięcia z osią \(Ox\) to \(A=\left(-\frac{1}{4},0\right)\) oraz \(B=\left(\frac{11}{4},0\right)\).

Krok 3. Obliczenie długości podstawy trójkąta \(ABC\).

Podstawą trójkąta \(ABC\) jest odcinek \(AB\), którego długość obliczymy jako różnicę:

$$|AB|=\frac{11}{4}-\left(-\frac{1}{4}\right) \\

|AB|=\frac{11}{4}+\frac{1}{4} \\

|AB|=\frac{12}{4} \\

|AB|=3$$

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli i wysokości trójkąta.

Korzystając ze wzorów \(p=\frac{-b}{2a}\) oraz \(q=\frac{-\Delta}{4a}\), możemy bez problemu obliczyć współrzędne wierzchołka. Nas tak naprawdę interesuje tylko druga współrzędna, bo chcemy się dowiedzieć jak wysoko nad osią \(Ox\) jest ten wierzchołek, zatem:

$$q=\frac{-2304}{4\cdot(-16)} \\

q=\frac{-2304}{-64} \\

q=36$$

Tym samym wysokość naszego trójkąta to \(h=36\).

Krok 5. Obliczenie pola trójkąta \(ABC\).

Na koniec zostało obliczenie pola trójkąta, zatem:

$$P=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot h \\

P=\frac{1}{2}\cdot3\cdot36 \\

P=54$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-cke-marzec-2026