---
route: /task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-35
title: Zadanie matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-35
source: Matura próbna CKE grudzień 2024
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-35

**Źródło:** Matura próbna CKE grudzień 2024
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Rozważamy wszystkie prostopadłościany \(ABCDEFGH\), w których krawędź \(AE\) jest \(3\) razy dłuższa od krawędzi \(A B\), a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa \(48\) (zobacz rysunek). Niech \(P(x)\) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości \(x\) krawędzi \(AB\). Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji \(P\). Oblicz długość \(x\) krawędzi \(AB\) tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(D=(0,3)\)\(x=\frac{24}{13}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie równań.

Przyjmijmy, że \(|AB|=x\), a tym samym \(|AE|=3x\). Dodatkowo oznaczmy trzecią krawędź \(|AD|=y\). Z treści zadania wynika, że suma wszystkich długości krawędzi jest równa \(48\), zatem:

$$4\cdot x+4\cdot y+4\cdot3x=48 \\

4x+4y+12x=48 \\

4y+16x=48 \\

4y=48-16x \\

y=12-4x$$

Pole powierzchni całkowitej moglibyśmy obliczyć jako:

$$P=2\cdot(x\cdot y+x\cdot3x+y\cdot3x) \\

P=2\cdot(xy+3x^2+3xy) \\

P=2\cdot(3x^2+4xy) \\

P=6x^2+8xy$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).

Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Aby tego dokonać, podstawmy wartość \(y\) z równania \(y=12-4x\) do równania \(P=6x^2+8xy\), zatem:

$$P=6x^2+8x\cdot(12-4x) \\

P=6x^2+96x-32x^2 \\

P=-26x^2+96x$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni całkowitej można opisać wyrażeniem \(-26x^2+96x\). Całość możemy potraktować tak jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretną wartość \(P\)). Tym samym moglibyśmy zapisać, że \(P(x)=-26x^2+96x\).

Krok 3. Zapisanie założeń.

Wszystkie długości krawędzi muszą być większe od zera, zatem:

$$x\gt0 \quad\land\quad 3x\gt0 \quad\land\quad 12-4x\gt0 \\

x\gt0 \quad\land\quad x\gt0 \quad\land\quad -4x\gt-12 \\

x\gt0 \quad\land\quad x\gt0 \quad\land\quad x\lt3$$

Zwróć uwagę, że przy nierówności \(-4x\gt-12\) kiedy dzieliliśmy obydwie strony przez \(-4\), trzeba było zmienić znak nierówności na przeciwny. Otrzymane wyniki oznaczają, że nasz \(x\) musi być większy od zera i mniejszy od \(3\), zatem dziedziną tej funkcji będzie \(x\in(0,3)\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-26\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):

Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:

$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\

x_{W}=\frac{-96}{2\cdot(-26)} \\

x_{W}=\frac{-96}{-52} \\

x_{W}=\frac{24}{13}$$

Otrzymany wynik mieści się w wyznaczonej wcześniej dziedzinie funkcji, a to oznacza, że pole powierzchni całkowitej graniastosłupa będzie największe, gdy \(x=\frac{24}{13}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-probna-cke-grudzien-2024